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第十九章
格与布尔代数
2022-4-1 离散数学 1
目录
n 本章介绍另外一类具有两种二元运算的代数系
统——格,以及特殊的格——布尔代数:
n 格是描述集合或命题的代数系统,称为集合代
数或命题代数
n §19.1 格的定义
n §19.2 格的性质
n §19 3 几种特殊的格
n §19.4 布尔代数
n §19.5 有限布尔代数的结构
2022-4-1 离散数学 2
§19.1 格的定义
2022-4-1 离散数学 3
格的定义
n 定义19.1.1:设 L, ≤ 是一个偏序集。如
果对任意a ,b ∈L ,{a ,b }在L 中都有最
大下界和最小上界,则称 L, ≤ 是一个格。
n 常将{a ,b }的最大下界记为inf {a, b },最
小上界记为sup {a, b }。
2022-4-1 离散数学 4
复习定义2.4.5和定义2.4.6
n 上(下)界:设A, 是一个偏序集,BA,若存在
a ∈A ,使得对任何x ∈B都有x a(或a x) , 则称
a为B 的上(下)界。 (如果存在,上(下)界可在A
中,也可在B 中)
n 上(下)确界:设A, 是一个偏序集,BA ,
若a是B 的一个上(下)界,且对B 的任何一个上
(下)界x ,均有a x (或x a) , 则称a为B 的上(下)
确界,也可称为最小上界 (或最大下界)。记
为a sup(B) (a inf(B) ) 。
2022-4-1 离散数学 5
几个是格的偏序集
(a) (b) (c)
n 图(a) 中是一个全序集(链) ,自然是一个格。
n 不难验证,图(b)和图(c) 中的偏序集中任意两个
元素都有最小上界和最大下界,因而都是格。
2022-4-1 离散数学 6
并非所有偏序集都是格
(d) (e) (f)
n 不是所有的偏序集都是格。
n 图(d), (e), (f)所表示的偏序集都不是格。不难
找出它们之中存在着两个元素,或没有最小上
界,或没有最大下界。
2022-4-1 离散数学 7
子集格
n 例1:设S是集合,ρ(S)是S的幂集。 于是
ρ(S), 是一个格,称为S的子集格。
因为:
n 首先, ρ(S), 是一个偏序集;
n 其次,对任意的A, B ∈ρ(S) ,有
sup {A, B} A ∪B ;
inf {A, B} A ∩B 。
2022-4-1 离散数学
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