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专题05 导数
1.导数小题
【高考真题】
1.(2022·全国乙卷文数)函数在区间的最小值、最大值分别为(????)
A. B. C. D.
2.(2022·全国甲卷文/理数)当时,函数取得最大值,则(????)
A. B. C. D.1
3.(2021·新高考全国 = 1 \* ROMAN I卷)若过点可以作曲线的两条切线,则(????)
A. B.
C. D.
4.(2021·全国乙卷文/理数)设,若为函数的极大值点,则(??? ?)
A. B. C. D.
5.(2020·全国 = 1 \* ROMAN I卷理数)函数的图像在点处的切线方程为(??? ?)
A. B.
C. D.
6.(2019·全国 = 2 \* ROMAN II卷文数)曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
7.(2019·全国 = 3 \* ROMAN III卷文/理数)已知曲线在点处的切线方程为,则( )
A. B. C. D.
8.(2022·新高考全国 = 1 \* ROMAN I卷)(多选)已知函数,则( ????)
A.有两个极值点 B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线
9.(2022·新高考全国 = 1 \* ROMAN I卷)(多选)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则(??? ?)
A. B. C. D.
10.(2022·新高考全国 = 1 \* ROMAN I卷)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.
11.(2022·新高考全国 = 2 \* ROMAN II卷)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________,____________.
12.(2022·全国乙卷理数)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.
若,则a的取值范围是____________.
13.(2021·新高考全国 = 1 \* ROMAN I卷)函数的最小值为______.
14.(2021·新高考全国 = 2 \* ROMAN II卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
①;②当时,;③是奇函数.
15.(2021·全国甲卷理数)曲线在点处的切线方程为__________.
16.(2020·全国 = 1 \* ROMAN I卷文数)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.
17.(2020·全国 = 3 \* ROMAN III卷文数)设函数.若,则a=_________.
18.(2019·全国 = 1 \* ROMAN I卷文/理数)曲线在点处的切线方程为___________.
【基础知识】
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,
相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f′(x)=cos x
f(x)=cos x
f′(x)=-sin x
f(x)=ax(a0且a≠1)
f′(x)=axln a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax(a0且a≠1)
f′(x)=eq \f(1,xln a)
f(x)=ln x
f′(x)=eq \f(1,x)
3.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′=eq \f(f′?x?g?x?-f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0);
[cf(x)]′=cf′(x).
4.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
5.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f′(x)0
f(x)在(a,b)上单调递增
f′(x)0
f(x)在(a,b)上单调递减
f′(x)=0
f(x)在(a,b)上是常数函数
6.
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