6.2 二项式定理（解析版）.docx

专题06 计数原理与概率统计 2.二项式定理 【高考真题】 1．（2020·全国 = 1 \* ROMAN I卷理数）的展开式中x3y3的系数为（??????） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【详解】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 2．（2019·全国 = 3 \* ROMAN III卷理数）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（??????） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】由题意得x3的系数为，故选A． 3．（2018·全国 = 3 \* ROMAN III卷理数）的展开式中的系数为（??????） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【详解】由题可得 令,则，所以 故选C. 4．（2017·全国 = 1 \* ROMAN I卷理数）展开式中的系数为（??????） A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【详解】因为， 则展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 故的系数为，选C. 5．（2017·全国 = 3 \* ROMAN III卷理数）(+)(2-)5的展开式中33的系数为（??????） A．-80 B．-40 C．40 D．80 【答案】C 【详解】， 由展开式的通项公式可得： 当时，展开式中的系数为； 当时，展开式中的系数为， 则的系数为. 故选C. 6．（2015·新课标 = 1 \* ROMAN I卷理数）的展开式中，的系数为（??????） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y, 故的系数为=30，故选 C. 7．（2020·全国 = 3 \* ROMAN III卷理数）的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】 【详解】，其二项式展开通项： 当，解得 的展开式中常数项是：. 故答案为：. 8．（2016·全国 = 1 \* ROMAN I卷理数）的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10 【详解】的展开式的通项为(，1，2，…，5)， 令得，所以的系数是. 9．（2015·新课标 = 2 \* ROMAN II卷理数）的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________． 【答案】 【详解】由已知得， 故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，， 其系数之和为，解得． 【基础知识】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq \f(n！,?n－m?！) Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?·…·?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！) 性质 Aeq \o\al(n,n)＝n！，0！＝1 Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)，Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)＝Ceq \o\al(m,n＋1)，Ceq \o\al(n,n)＝1，Ceq \o\al(0,n)＝1 4．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 Ceq \o\al(k,n)(k＝0,1，…n) 5．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”