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第十章 质点的运动微分方程§10－1 动力学基本问题§10－2 质点运动微分方程§10－3 质点动力学两类基本问题第一页，共二十二页。§10－1 动力学基本定律 出自牛顿名著《自然哲学之数学原理》，总结了伽利略和惠更斯的研究成果。 使用条件： 动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。 主要内容： 牛顿三定律 第一定律：（又称惯性定律） 第二页，共二十二页。质点如不受其它物体（力）作用，则将保持静止或匀速直线运动的状态。 任何质点保持其运动状态不变的特性，称为惯性。而质点的匀速直线运动又称为惯性运动。 惯性运动的现象：站在匀速直线运动汽车上的人，在汽车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。第二定律：（力与加速度之间关系的定律） 质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加速度的方向与力的方向相同。 第三页，共二十二页。（10－1） 式为质点的加速度，m为质点的质量。F为作用于质点上之外力。若同时受到几个力作用，则 由式（1）知：以同样的力作用在质点上，当质量m愈大，则加速度a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因此，质点的质量是其惯性的度量。 对于质量而言，当质点的速度只有在v远小于cm情况，m才认为是常量，因为存在 第四页，共二十二页。存在的关另重量和质量系： 其中g为重力加速度，一般取为g=9.81m/s2。 在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分别为m、kg和s，离地单位是导出单位，即事质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度时，作用于改质量的力称为1N。 1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2第五页，共二十二页。第三定律：（作用力与反作用力定律） 两个物体相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两个物体上。 此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。 第六页，共二十二页。§10－ 2 质点运动微分方程 由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合外力）之间的关系式： （10－2）由代入上式有， （10－3） 矢量形式的质点运动方程。 第七页，共二十二页。 zM rzoy xyx1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上： （10－4） 上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。 第八页，共二十二页。2.自然坐标系的投影式 切线轴，主法线轴n，副法线轴b，考虑到， （10－5） 上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。 第九页，共二十二页。§10－3 质点动力学两类基本问题 用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。 第十页，共二十二页。例10-1 如图所示为在倾斜轨道上运动的加料子车，其速度 的变化规律如图（b）所示，求下列三段时间内钢绳的拉力 FT：（1）t=0~3s；（2）t=3~15s；（3）t=15~20s。已知车重P=200N。设轨道frition不计。 【典型题精解】已知运动求力属第一类问题。 【解】 取加料子车为研究对象，画出受力图。 第十一页，共二十二页。X方向： 又 （1） 故 由于加料子车在提升过程中，在各段内加速度不同，故钢丝绳拉力也不同。 （1）当t=0～3s时，小车做匀加速运动，故其加速度为 将此式代入（1）式，有 第十二页，共二十二页。 例10-2.炮弹以初速度发射，与水平线的夹角为α，如图所示。假设不计空气阻力合地球自转的影响，求炮弹在重力作用下的运动方程和轨迹。（2）t=3～15s，匀速，，故 （3）t=15～20s，匀减速， 故 【解】 以炮弹为研究对象，并视为质点。因不考虑地球自转影响，故炮弹的运动轨迹为一平面曲线。取质点的原始位置为坐标原点，坐标轴如图所示。 第十三页，共二十二页。(1)(2)已知力求运动轨迹属第二类问题。由直角坐标形式的质点运动微分方程 积分式（1），得： t=0时， 得 于是有， （3） 再积分式（2），有 第十四页，共二十二页。当t=0时， 代入上式得：（4）于是有 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。将（3）、（4）式中的t消去，得炮弹得轨迹为由解析几何知，这是位于铅直面内得一条抛物线。第十五页，共二十二页。 例10-3 重量为P＝25kN的物块，从