连续函数的概念与性质.pptxVIP

第一章 函数与极限 第八-九节 连续函数的概念与性质主要内容：一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质第一页，共四十五页。一、函数的连续性1.函数的增量第二页，共四十五页。2.连续的定义第三页，共四十五页。第四页，共四十五页。例1证由定义2知第五页，共四十五页。3.单侧连续定理第六页，共四十五页。例2解右连续但不左连续 ,第七页，共四十五页。4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如，多项式函数在R上是连续的。第八页，共四十五页。四则运算的连续性定理1例如,第九页，共四十五页。定理2意义1.极限符号可以与函数符号互换;例3解第十页，共四十五页。二、函数的间断点第十一页，共四十五页。1.跳跃间断点例4解第十二页，共四十五页。2.可去间断点例5第十三页，共四十五页。解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.第十四页，共四十五页。如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第十五页，共四十五页。3.第二类间断点例6解第十六页，共四十五页。例7解第十七页，共四十五页。例8解第十八页，共四十五页。内容小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;第一类间断点:可去型,跳跃型.间断点第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)第十九页，共四十五页。yyoxoxyyoxox第一类间断点可去型跳跃型第二类间断点无穷型振荡型第二十页，共四十五页。思考题1第二十一页，共四十五页。且思考题1解答1、一类；一类；二类。2、第二十二页，共四十五页。三、初等函数的连续性定理3 基本初等函数在定义域内是连续的.定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.第二十三页，共四十五页。注意1　初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2　初等函数求极限的方法代入法.第二十四页，共四十五页。例9解例10解第二十五页，共四十五页。四. 连续性在求极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果特别：（1）当f(u)=au 则（2）当f(u)=logau则 (μ为实数)，则 (3)当f(u)=特别： 第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限 第二十六页，共四十五页。例11. 求下列极限 （a＞0　a≠1） (重要极限Ⅱ)解：（1）∵ =lne=1第二十七页，共四十五页。第二十八页，共四十五页。第二十九页，共四十五页。五、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理定义:例如,第三十页，共四十五页。定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.第三十一页，共四十五页。定理4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证第三十二页，共四十五页。2、介值定理定义:第三十三页，共四十五页。几何解释:第三十四页，共四十五页。MBabAmC证由零点定理,几何解释:第三十五页，共四十五页。推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.例11证由零点定理,第三十六页，共四十五页。例12证由零点定理,第三十七页，共四十五页。第三十八页，共四十五页。第三十九页，共四十五页。小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意　1．闭区间； 2．连续函数．这两点不满足, 上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第四十页，共四十五页。例但但反之不成立.第四十一页，共四十五页。思考题2下述命题是否正确？第四十二页，共四十五页。思考题2解答不正确.例函数第四十三页，共四十五页。六、习题演练第四十四页，共四十五页。第四十五页，共四十五页。