8 整式的乘除公开课.docVIP

第八讲 整式的乘除 【趣题引路】 如图8－1所示，长方体的每一个面上都写有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，且13、9、3的对面是a、b、c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值？ 解析 依题意得 13＋a＝9＋b＝3＋c， ∴ a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10. ∴ a2＋b2＋c2－ab－bc－ca 点评:观察要求的式子 a2＋b2＋c2－ab－bc－ca,联想到酿成完全平方公式,积没有两倍,想到乘以2,再乘以,问题转化成只要求得a－b,b－c,c－a的值即可. 【知识延伸】 一、指数的运算 整式的乘除的基础是指数的运算，指数的运算律：am．an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，am÷an＝am－n，通常在运算过程中需要我们对这些运算律逆用. 例1 化简得（ ） A. B. C. D. 解析 . 故选C. 点评:分子、分母的每一项都是以2为底数的幂，逆用指数的运算律及乘法对加减法的分配律将问题解决。在运算中,根据问题的需要,有时要将运算律反过来用，这就要求我们对这些运算律相当熟悉. 二、整式的乘法 整式的乘法，通常按照整式乘法法则进行，但往往在计算过程中蕴含着丰富的技巧和方法. 例2 (2x6－3x5＋4x4－7x3＋2x－5)(3x5－x3＋2x2＋3x－8)展开式中x8的系数是 ; 设(ax3－x＋6)(3x2＋5x＋b)＝6x5＋10x4－7x3＋13x2＋32x－12，则a＝ ，b＝ . 解析 2x6·2x2－3x5·(－x3)－7x3·3x5 ＝(4＋3－21)x8 ＝－14x8， ∴x8的系数是－14. ∵ax3·3x2＝3ax5＝6x5, ∴a＝2. ∵6b＝－12 ∴b＝－2 点评:分析x8项产生的来源，是第一个多项式的六次项乘以第二个多项式的二次项，五次项乘以三次项，四次项乘以四次项，三次项乘以五次项，二次预乘以六次项得来的，故只要分别对这些项进行乘法运算，将所得到的系数相加即可，后两空同一原理.像这一类题目，如果利用多项式乘以多项式的法则展开会运算量太大. 三、乘法公式 例3 已知A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)，那么A的个位数是 . 解析 (a－b)(a＋b)＝a2－b2， ∴A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1) ＝ (2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1) ＝2128－1 ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，128÷4＝32，余数是0， ∴2128的个位数是6，∴2128－1的个位是数是5. 点评:观察式子的特点发现只要乘以（2－1），原式就像多米诺骨牌效应一样，将平方差公式传递到最后，恰好2－1＝1不影响原式的结果，如果不是1也可以采取先乘后除的办法解决.判断幂的个位教，通常根据个位数循环的特点进行判断.1、5、6乘方后的个位数总是它自己；2、3、7、8乘方后的个位数总是四个一循环；4、9乘方后的个位数总是两个一循环. 例4 已知(a－c)2＝4(a－b)(b－c)，求证：a＋c＝2b. 解析：∵(a－c)2＝4(a－b)(b－c)， ∴(a－b＋b－c)2＝4(a－b)(b－c)， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋2(a－b)(b－c)＝4(a－b)(b－c) 即 (a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)＝0 ∴＝0 ∴a－2b＋c＝0，a＋c＝2b 点评:将a－c写成a－b＋b－c是一种常用方法.将(a－b)、(b－c)看成两个字母，运用乘法公式进行变形，这要求对乘法公式的正、反两种形式运用都非常熟练，看到某些具有乘法公式特点的式子，想办法通过配方、凑项等方法进行变形处理，使问题得以简便、快捷地解决. 例5 设a、b、c、d为整数，且m＝a2＋b2，n＝c2＋d2，求证：mn可以表示成两个整数的平方和. 解析 mn＝(a2＋b2)(c2＋d2) ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ＝a2c2＋b2d2＋2abcd ＋b2c2＋a2d2－2abcd ＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2 又a、b、c、d均为整数，∴ac＋bd和bc－ad也为整数， ∴mn可以变式成两个整数ac＋bd与bc－ad的平方和 . 点评:这么多平方数当然想到配方，利用完全平方公式.在进行整式的乘法运算时，要善于将一些具有特点的