高等数学之多元函数积分学省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptxVIP

第六节 一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式、平面曲线积分与 路径无关条件 第九章 1/20 设D为平面区域, 假如D内任一闭曲线所围成部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 不然称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 一、格林公式 1. 单连通域与复连通域 2/20 定理1 2、格林公式 3/20 边界曲线L正向: 当观察者沿边界行走时, 区域 D 总在他左边. 4/20 5/20 例1. 计算 解: 令 故 L 为以 和 为边三角形正向闭曲线. 6/20 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20 解 8/20 9/20 (注意格林公式条件) 10/20 计算平面面积 比如, 椭圆 所围面积 11/20 假如在区域G内有 二、曲线积分与路径无关条件 1、曲线积分与路径无关定义 二、平面曲线积分与路径无关条件 12/20 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 含有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点相关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 全微分, 即 13/20 说明: 依据定理2 , 若在某区域内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便积分路径; 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 14/20 例4. 计算 其中 解: 因为 所以所给曲线积分与路径无关，由图形可知 为圆周 在第一 象限内弧段. 因为在 上， 15/20 因为在 上， 16/20 例5. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 17/20 例6. 验证 是某个函数全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18/20 内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内含有一阶连续偏导数, 则有 19/20 作业 P156：2；3；5（1）. 20/20