材料非线性有限元分析.ppt

第一页，共三十六页，2022年，8月28日 1 非线性弹性问题的有限单元法 前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 象线性问题一样，设位移和应变分别为 则全量形式的应力为 增量形式的应力为 第二页，共三十六页，2022年，8月28日 同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为 单元刚度方程集成，可得总体平衡方程 与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用求解非线性方程组的方法来求解。 1）切线刚度法——牛顿法 集成 非线性方程 用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为 ) 第三页，共三十六页，2022年，8月28日 经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为 式中Rn是应力σn引起的结点力，因此 其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。 因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以自修正的牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。 表示集成 第四页，共三十六页，2022年，8月28日 切线刚度法分析的计算步骤 像牛顿法一样，切线刚度法每步都要形成切线刚度矩阵，计算量大。 基于修正牛顿法的应力转移法、初应力法 此时不平衡力节点力为外荷载形成 n n n n n T n U U U R R K U D D + = - = + - 1 1 ) ( ) ( 第五页，共三十六页，2022年，8月28日 2）应力转移法、初应力法——修正牛顿法 为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则 这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。 因为初始切线刚度矩阵 ，故 表示集成 第六页，共三十六页，2022年，8月28日 式中 是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得 因为 非线性应力 所以若将 视作“初应力”，并记 则 表示集成 它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称初应力法。 第七页，共三十六页，2022年，8月28日 n e n n DB D d e s = = e 第八页，共三十六页，2022年，8月28日 切线刚度法，应力转移、初应力法示意 第九页，共三十六页，2022年，8月28日 切线刚度法 将杆分成两个单元，其单元刚度矩阵为： 第十页，共三十六页，2022年，8月28日 初应力法 初应力法迭代公式为： 第十一页，共三十六页，2022年，8月28日 2 弹塑性问题的有限单元法 涉及路径相关性的材料应力应变非线性（加载及卸载、残余塑性变形等）必须用增量法来求解。 在增量荷载ΔRm作用下，位移、应力、应变和内变量等的增量分别为 下一步迭代时的荷载水平为 设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变和内变量等分别记作 第十二页，共三十六页，2022年，8月28日 由于所讨论的是小变形问题，因此 或 也即单元增量应变为 。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为 精确解时 第十三页，共三十六页，2022年，8月28日 对弹塑性问题，本构关系为 弹性矩阵 塑性矩阵 弹塑性矩阵 在应力增量dσij作用下，应变增量dεij 可分成弹性和塑性两部分。 总应变为 正交（相关）流动准则 非负的尺度因子dλ，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况 F为屈服面方程 弹塑性问题本构关系－应力应变关系 第十四页，共三十六页，2022年，8月28日 对于具有强化的加载状态，因为屈服面为 由df =0 又因为 第十五页，共三十六页，2022年，8月28日 则由df =0可得 在屈服面方程中的内变量k，dk将有不同的形式，仿照塑性变形的取法，统一记 第十六页，共三十六页，2022年，8月28日 塑性状态的加载和卸载准则 在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。 如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。 应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。 第十七页，共三十六页，2022年，8月28日 2-2) 具有强化的弹塑性材料 2-1）理想弹塑性材料 由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为 。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为： 卸载，弹性 加载，塑性 卸载，弹性 加载，塑性 中