阶线性微分方程的概念与解的结构.pptxVIP

一、一阶线性微分方程的概念与解的结构第六章　微分方程初步第三节　一阶线性微分方程二、伯努利方程第一页，共二十一页。 定义 一阶微分方程的一般形式为F(x, y, y?) = 0.一、一阶线性微分方程的概念与解的结构第二页，共二十一页。 一、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 左边的每项中仅含 y 或 y?，且均为 y 或 y? 的一次项.① 它的特点是：右边是已知函数，第三页，共二十一页。 称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.②若 Q (x)若 Q (x) 0，则方程成为第四页，共二十一页。 1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程是可分离变量方程.两边积分，得所以，方程的通解公式为分离变量，得第五页，共二十一页。 例 6 求方程 y? + (sin x)y = 0 的通解.　　解　所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解为则第六页，共二十一页。 　　例 7　求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解.解　将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，则由通解公式得该方程的通解将初始条件 y(1) = e 代入通解，得 C = 1.故所求特解为第七页，共二十一页。 2.一阶线性非齐次方程的解法设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， 　将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y? + P (x) y = 0 的解)及其导数 y? = C ?(x) y1 + C(x) y?1 代入方程则有即第八页，共二十一页。 因 y1 是对应的线性齐次方程的解，因此有其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，代入 y = C (x)y1 中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得第九页，共二十一页。 且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：　　上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，称为常数变易法.第十页，共二十一页。 例 8 求方程 2y? - y = ex 的通解.解法一 使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为将 y 及 y? 代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为第十一页，共二十一页。 于是，有因此，原方程的通解为解法二 运用通解公式求解．将所给的方程改写成下列形式：第十二页，共二十一页。 则代入通解公式，得原方程的通解为第十三页，共二十一页。 例 9 求解初值问题．解　使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程的通解为第十四页，共二十一页。 设所给线性非齐次方程的通解为于是，有将 y 及 y?代入该方程，得第十五页，共二十一页。 因此，原方程的通解为将初始条件 y(p) = 1 代入，得 C = p，　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以，所求的特解，即初值问题的解为第十六页，共二十一页。 例 10　求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.解　将原方程改写为这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次方程，它的自由项 Q(y) = 1.第十七页，共二十一页。 代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为第十八页，共二十一页。 二、伯努利方程称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过变量替换，可以把它化为线性的。方程第十九页，共二十一页。 如以yn除以方程两边，得则令化简为第二十页，共二十一页。 例 求方程的通解.第二十一页，共二十一页。