Mallat小波混叠问题.docx

小波变换混叠问题的解释 1987年，MALLAT和M EYER合作，在多尺度分析的基础上，提出了多分辨分析的概念，不但统一了在此之前提出的各种具体小波基的构造方法，而且还给出了信号分解为不同频率通 道的分解算法和重构算法，即Mallat算法，奠定了小波分析在多个领域的应用基础，促进了 小波分析在工程中的应用。但是，由于Mallat算法自身设计的缺陷，使得它在对信号分解和 重构过程中， 会产生频率混叠现象，可是因为小波系数能够很精确地重构原始信号，这就对它在某些领域内应用并没有受到影响。 然而，当用Mallat算法来提取一个复杂信号中的某个或某几个频率分量时，Mallat算法产生的频率混叠现象就是一个不容忽视的缺陷。 对最高频率为的带限信号进行离散化抽样， 如果抽样周期比较大， 或者说抽样频率比较小，那么抽样将会导致频率相邻的2个被延拓的频谱发生叠加而互相产生影响， 这种现象称为混叠。Mallat算法是StePhan Mallat将计算机视觉领域内的多分辨分析思想引入到小波分析中， 推导出的小波分析快速算法。但在具体使用时， Mallat算法是利用与尺度函数和小波函数相对应的小波低通滤波器H，h和小波高通滤波器G，g对信号进行低通和高通滤波来具体实现的。为了叙述方便，在此把尺度函数称为低频子带，小波函数称为次高频子带。 Mallat算法的频率混叠现象 由M alla t的分解算法可知，信号f(t)在第2j 尺度(第j层)的近似部分，即低频部分的 小波系数Aj是通过第2j-1尺度(第j-1层)的近似部分的小波系数Aj-1与分解滤波器H的卷积， 然后将卷积结果隔点采样得到的；而信号f(t)在第2j尺度(第j层)的细节部分，即高频部分的 小波系数Dj是通过第2j-1尺度(第j-1层)的近似部分的小波系数Aj-1与分解滤波器G的卷积，然 后将卷积结果隔点采样得到的。可以说，Mallat算法基本由3步完成: 小波滤波器滤波(卷积)-正交镜像滤波器的频域特性； 由于小波分解与重建算法，信号的频带依靠正交镜像滤波器被连续降半划分到指定尺 度，这就要求正交镜像滤波器必须具备理想的截止特性，即h，H为理想低通滤波器，g，G 为理想的带通滤波器。设信号的采样频率为fs，则第2j尺度上，h和H的频率范围为[0，fs/2j+1]， g和G的频率范围为(fs/2j+1，fs/2j)。但实际上正交镜像滤波器不是理想的。其低通部分和带 通部分在交界处并不锐减，而是相互延伸到对方一段，延伸的长度随着失于长度N取值的减 小而增大。由于实际正交镜像滤波器的非理想特性，信号与其卷积后产生如下后果：(1)各 频带中含有其相邻频带的成分；(2)低频带中含有邻近的高频待的成分，再经隔点采样后， 由于不满足采样定理而产生频率折叠。 隔点采样； 设信号的采样频率为fs，信号中含有的最高频率为fm。为了讨论方便，这里假定fs/4fm ≤fs/2。在2j尺度， 理论上信号被分解到[0，fs/2j+1]和[fs/2j+1，fs/2j]两个频带上， 但 实际上由于正交镜象滤波器的非理想截止特性， 得到的是[0，fc]和[fd，fs/2j]两个频带， 其中，[0，fc]= [0，fs/2j+1]∪[fs/2j+1，fc]，[fd，fs/2j]= [fd，fs/2j+1]∪[fs/2j+1，fs/2j]。[fs/2j+1，fc]和[fs/2j+1，fs/2j]再经隔点采样后，由于不满足采样定理，将产生频率折迭， 得到的是以fs/2j+1为对称中心且小于fs/2j+1的虚假的频率成分。 隔点插零。 由前述的小波重建算法，重建过程是不断隔点插零及与正交镜象滤波器H或G卷积直至20 尺度的过程。隔点插零产生两个结果:(l)信号采样频率增加一倍；(2)产生虚假的频率成分。在2j尺度产生的虚假的频率成分为以fs/2j+1为对称中心的与真实频率成分对称的另一半频率 成分。 所以频率的混叠现象也肯定是在以上3步操作过程中产生的。隔点插零是在小波重构时 采用的技术，它不会影响到小波分解阶段。现在来着重分析⑴和⑵，实际上小波滤波器并不是理想滤波器，滤波器的非理想频域特性，使得信号经其滤波后就会产生各带限子带含有其相邻子带分量的情况，从而产生频率混叠现象，所以Mallat算法的小波滤波器肯定与混叠产生有关，但是考虑到频率混叠在各个带限子带(近似部分和细节部分)的产生不均衡性，在近 似带限子带中几乎没有混叠现象出现。这样，小波滤波器就不应该是产生频率混叠的主要原因。 其实，隔点采样才是产生频率混叠的根本原因，因为它违反了Shannon采样定理。下面的分析也证明了这一点。首先，来看小波分解过程中各个带限子带中频率的分布情况。设原 始信号的采样频率为2fsHz，J表示分解的深度。 消除频率混叠的小波分解与重建