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二项式定理项的系数
二项式定理是数学上有名的一条定理,是指任何整数n(n≥0)的二项式定理都可以用如下的公式表示:(1+x)^n=Σr=0,nCrxr,其中Cn,r是n阶组合数,也就是给定一个集合,可以从中选取r个元素,组合成一个新的子集,其中Cn,r定义为:Cn,r=n!/(r!*(n-r)!),其中n!表示n的阶乘,即n*(n-1)*(n-2)*···*1;下面将从实际数值上具体解释二项式定理系数Cn,r的含义。
首先,当r=0时,Cn,r=n!/(0!*(n-0)!),由于0!=1,则Cn,r=n!/1=n!此时,二项式定理式子可以简化为:(1+x)^n=Σr=0,nCrxr=(1+x)^n=Cn,0x0+Cn,1x1+···+Cn,nxn,而Cn,0x0=1x0=0,所以可以得到:(1+x)^n=Cn,1x1+···+Cn,nxn
从上面的例子中可以看出,当r=0,r=1,r=n时,二项式定理的系数Cn,r分别为n!,n,n,而当2≤r≤n-1时,二项式定理的系数Cn,r的值不一定是常数,而是一个与r有关的多项式。因此,由此可以总结出二项式定理的系数Cn,r的总结:当r=0,Cn,r=n!;当r=1,Cn,r=n;当2≤r≤n-1时,Cn,r是一个具有r项的多项式;当r=n时,Cn,r=n。
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