矩阵的初等变换与线性方程第一节.ppt

任何矩阵 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 标准形矩阵 有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论 有限次初等行变换 第三十页，共五十八页，2022年，8月28日 四、初等变换的性质 矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算， 为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍 它的一个最基本的性质. 第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日 定理 1 设 A 与 B 为 m ? n 矩阵，那么 （i） A ~ B r 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B； （ii） A ~ B c 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B； （iii） A ~ B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B . 第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即可得到 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　右边的矩阵 例 r1 ? r2 r3 ? 2 （i） A ~ B r 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B； 初等矩阵 第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日 定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ． 初等变换与矩阵乘法的关系 第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日 (1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日 (2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日 (3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日 左乘，行变换 第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日 右乘，列变换 第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日 初等矩阵 性质1： 对Am×n施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。 口诀：左行右列. 第四十页，共五十八页，2022年，8月28日 因此矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算有关联。 从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的 运算规律， 也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵 由定理 1 可得如下推论. 推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E . r 的乘法。 第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日 第一页，共五十八页，2022年，8月28日 第一节 矩阵的初等变换—回顾 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为 上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值． 第二页，共五十八页，2022年，8月28日 解： 第三页，共五十八页，2022年，8月28日 第四页，共五十八页，2022年，8月28日 第五页，共五十八页，2022年，8月28日 第一节 矩阵的初等变换—回顾 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 以上行列式的转换使用到的性质： 矩阵有类似变换 第六页，共五十八页，2022年，8月28日 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj). 一、 矩阵初等变换的定义 定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri ? rj ); (ii) 以数 k ? 0 乘以某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 ri ? k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应 的元素上去 对调行，无变号之说 第七页，共五十八页，2022年，8月28日 把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列 变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换. 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换 因此，若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。 第八页，共五十八页，2022年，8月28日 如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B , 就称矩阵 A 与 B 行等价, 记作 如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B , 就