法向量解立体几何专题训练.docx

法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角θ，只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个 向量 AA 和BB ，则角 AA , BB =θ或π-θ，因为θ是锐角，所以 cosθ= AA  BB , 不 AA  BB  需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos(  -θ) = |cos AB , n | = 2 3、 设二面角的两个面的法向量为n , n ，则 n , n 或π- n , n 是所求角。这时要借助 1 2 1 2 1 2 图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 n , n 是所求，还是π- n , n 是所求角。 1 2 1 2 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为n  (x, y, z) ，在 a、b 上任取一点 A、B，则异面直 线 a、b 的距离 d =AB·cos∠BAA＇= | AB  n | | n | 2、求点到面的距离 求 A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为n  (x, y,1) ，在α内任取一点 B，则 A 点到平面α的距离为 d = | AB  n | ， n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直 | n | 关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设n  (1,y,0) 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线 a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为n , n ，则 a//  a  n 1 1 2 a    a//n 1    //   n 1 // n 2     n  n 1 2  四、应用举例： 例 1：如右下图,在长方体 ABCD—A B C D  中,已知 AB= 4, AD =3, AA = 2. E、F 分别是线 段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1. 1 1 1 1 1 (1) 求二面角 C—DE—C 的正切值; 1 (2) 求直线 EC 与 FD 所成的余弦值. 1 1 解：（I）以 A 为原点， AB, AD, AA 分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 1 则 D(0,3,0)、D (0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C (4,3,2) 1 于是， DE  (3,3,0), EC 1  (1,3,2), FD 1 1  (4,2,2) 设法向量n  ( x, y, 2) 与平面 C DE 垂直，则有 1 n  DE    3x  3 y  0   x  y  1 n  EC  x  3y  2z  0 1  n  (1, 1, 2), 向量 AA 1  (0, 0, 2)与平面 CDE 垂直,  n与AA 所成的角 为二面角 C  DE  C 的平面角 1 cos  n  AA  1  | n | | AA | 1 1 0  1 0  2  2  3  tan   2 2 （II）设 EC 1 与 FD 1 所成角为β，则  cos     14 1 1 例 2：（高考辽宁卷 17）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点。 （1） 证明平面 PED⊥平面 PAB； （2） 求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值证明：（1）∵面 ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点，连结 BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900， 如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD= 1 ，ED= ， 2 2  ∴P（0，0，1），E（ ，0，0），B（ ， 1 2 2 2 ，0）   ∴ PB =（ 1 ， ，-1）， PE = （ ，0，-1）， 2 2 2 平面 PED 的一个法向量为 DC =（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向量为n =（x, y, 1)  n  PB  (x, y,1) ( , 1 , 1)  0   x  y 1  0 x  2 由   2 2   2 2   n  PE (x, y,1) (  3