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1 流体力学基本知识 1 流场的运动学 1.1 描述流体运动的两种方法 有两种描述流体运动的方法：Eulerian表述和Lagrangian表述。 Eulerian表述：将流体看作一个在时空上连续变化的场，所有物理量都定义 为空间x和时间t的函数，例如速度场u(x, t)。 Lagrangian表述：跟踪某一个流体粒子的运动，所关心的物理量是该粒子的 质心位置a和时间t的函数，例如粒子的速度v(a, t)。 相比于Lagrangian表述，Eulerian表述有很多优点： (1) 在大多数理论分 析中，采用Eulerian表述更加简单明了，特别地，Eulerian表述所关心的是场 量，我们可以利用强大的场论工具对流场进行分析； (2) 流体力学中的许多 试验，诸如风洞试验和外场试验，往往比较容易观测到的是与流场有关的物理 量。 (3) 工程上关心的多是与流场有关的物理量，如速度、压力或温度等物理 量的时空分布，而不去关心一个流体粒子的运动细节。考虑到上述因素，在下 面的章节中，除特别说明外，均选用Eulerian表述，来探讨流场的运动规律或者 通过场函数来探讨流体粒子的运动规律。 1.2 流线 为了直观地描述流体的速度场，我们引入流线的概念。在某一时刻，如果 流场中一条线上任何一点的切线方向都与该点的速度方向平行，这条线称为流 线。流线的方程为： = = (1) dx dy = = (1) u(x, t) v(x, t) w(x, t) . 如果已知速度场，对上式求积分可以求出流线的具体表达式，注意式中的时间 在求积分时应看作常数。 只有当流场平稳的时候，流线与流体粒子的运动轨迹才会重合。另外，流 管也是经常使用的概念，它是指通过某一闭合曲线的所有流线组成的几何体。 1.3 随体导数 随体倒数建立了Eulerian表述和Lagrangian表述之间的联系。下面以速度场 为例，给出随体导数的表达式。 2 如果速度场u(x, t)已知，那么如何根据速度场求出流体粒子在某一时刻 某一位置的加速度呢？设流体粒子在t时刻的位置为x ，t + δt时刻所在的位置 为x+ uδt 。于是流体粒子的速度在时间t内的改变量为： u(x + uδt, t + δt) ? u(x, t) = δt ( + u · ru) + O(δt2 ). 因此，粒子的加速度为： = + u · = + u · ru. (2) ?t ?t 上述推导可推广到其它的物理量： 已知采用Eulerian表述的物理量θ(x, t) (这个量可以是标量，也可以是矢量)， 可以求出流体粒子相应的物理量 a=x = + u · rθ . 上式中对流体场θ(x, t)的求导，定义为随体导数： = + u = + u · r. Dt ?t (3) (4) 1.4 连续性方程 连续性方程又称质量守恒方程。考虑空间中某一块具有任意形状的区域， 单位时间内流入这个区域的流体质量为： f = ? \ ρu · n dS. 式中的积分涵盖该区域的整个表面积，并且根据Green公式， f = ? \ r · (ρu)dV. 另外，单位时间内该区域中流体质量的增加量等于 \ ρ dV. 上式中的积分是在整个区域中进行的。如果该区域内不存在任何流体源 (比如 任何排水管或水泵) 的话， f = \ ρ dV = ? \ r · (ρu)dV. 由于积分区域是任意选取的，去掉积分，我们就可得到连续性方程： dρ+ r · (ρu) = 0 dρ dt (5) 3 1.5 不可压缩性 流体粒子在运动过程中，如果其密度不随压力的变化而变化的话，我们就 说该流体是不可压缩的。 根据 (4) 和 (5) 式，可以用随体导数表示表示连续性方程： 1 Dρ+ r · u = 1 Dρ ρ Dt 由于流体粒子的体积随时间的变化率是: im!0 = lim \ u · n dS = lim \ r · udV = r · u, (6) (7) 因此 (6) 式的物理意义是：当流体粒子质量守恒的时候，流体粒子的体积变化 率和密度变化率大小相等，但相差一负号，这是很显然的。当流体不可压缩的 时候，Dρ/Dt =