成信工大气流体力学讲义06大气运动方程的变形.docxVIP

1 第六章 大气运动方程的变形 § 1.环流定理 §2.涡度方程及其简化形式 §3.位势涡度, 位涡守恒原理 §4.散度方程 本章重点: 铅直涡度方程,位涡概念,绝对环流守恒、绝对涡度守恒和位涡守恒的条件及应用。 § § 1.环流定理 1. (速度)环流：沿一条闭合回线上， 流体质点速度的切向分量的积分，即 C = L ? dl一 = Ludx+ vdy+wdz (6.1) 其中闭合曲线 L 是由空气质点组成的一条物质线，一般 L 取逆时针方向时规定为正。 2. 环流的物理意义： 环流描述某个有限范围内流体旋转的总趋势。C0，为正环流， 表示空气有沿 L 正方向运动倾向； C0，为反环流，表示空气有沿 L 负方向运动的倾向。 3. 绝对环流与相对环流 ∵ 一Va = +一?× ∴定义： 绝对环流Ca = L 一Va ? dl一 (6.2) 则有： Ca = L 一Va ? dl一 = L ? dl一+ L (一?× ) ? dl一 = C+ Ce (6.3) ∵ Ce = L (一?× ) ? dl一 Stokes定理 ? × (一?× ) ?d一σ (6.4) σ 而 ? ×(一? × )= ( ? ? )一? ? (一? ? ? ) + (? ? )一? ? ( ? ? 一?) ∵ 一? 为常矢量，则( ?? )一? = 0 ， ? ? 一? = 0 在球坐标系中， ? ? = ? ? (rk一)= = 3 2 ? ?? 及(一? ?? ) = ( ?cos?j一+ ? sin ?k一) ? i一+ j一+ k一 = + ? sin ? (rk一) = ?cos? = ?cos? + ? sin ?k 一一= ?cos?j+ ? sin ?k 一 一 一 = ? ∴ ? ×(一?× )= ?一?+ 3一? = 2一? 则(6.4) 式变为： Ce = L (一?× ) ? dl一 = 2一??d一σ = 2一?? 一σ σ 故： Ca = C+ Ce = C+ 2一?? 一σ = C+ 2?σe (6.5) (6.6) 绝对环流＝相对环流＋牵连环流( σe 为σ在赤道平面的投影) 图 6.1 牵连环流 一若 L 选在水平面上，有一σ = σk， 一 ∴ 一??一σ = ( ?cos?j一+ ? sin ?k一) ? (σk一)= ? sin ?σ 则(6.6) 式变为： (6.7)Ca = C+ Ce = C+ 2?sin ?σ = C+ f (6.7) 4. 环流定理 (运动方程的线积分形式) ∵环流加速度 = L ? dl一 = L ( ? dl一) 3 = L d一Vdt? dl一+ ? (dl一) (其中 (dl一)=ddl一dt =d) = L d一Vdt? dl一+ L ? d = L d一Vdt? dl一+ Ld (其中 Ld = 0 ? LdF = 0 ) ∴得到： = L d一Vdt? dl一 ——环流定理 (6.8) 即对物质回路(组成回路 L 的空气质点不随时间 t 改变 )，(速度 ) 环流加速度等于加速度环流。 同样，对绝对环流加速度有： = L d一Vadt ? dl一 或 = L d一Vaadt ? dl一 = (6.9) (6.9) ’ 5. 绝对环流加速度定理和开尔文(Kelvin) 环流定理 将惯性坐标系大气运动方程 一d V 一 一 a = * ?α?p +F = ??Φa ?α 一 d V 一 一 * ：地球引力(是位势力或保守力)； Φa ：地球引力位势， Φa = ? +Φa0 代入(6.9) ’式，有： = ?L ?Φa ? dl一?Lα?p ? dl一+ L ? dl一 ∵Ca 为标量，根据(6.9)有： ∴ = ? LdΦa ? Lαdp+L ? dl一 (?F ? dl一= dF) ∴ = ?Lαdp+L ? dl一 ——绝对环流加速度定理 即绝对环流的加速度决定于大气的斜压性和摩擦作用。 (6.11) (6.12) 4 若大气是正压的( ? Lαdp= 0 ) 和 L 上无摩擦力( = 0 )，则有绝对环流守