高考文科数学向量专题讲解及高考真题.docx

向 量 1.向量的概念 向量的基本要素：大小和方向. 向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. 特殊的向量：零向量 a＝O ? ｜a｜＝O. 单位向量 a 为单位向量? ｜a ｜＝1. O O  ?x ? x 相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ ，ｙ )＝（ｘ ，ｙ ） ? ? 1 2 ?1 1 ? 相反向量：a=-b ? b=-a ? a+b=0 2 2 y ? y 1 2 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量. 2..向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 1.平行四边形法则 加法 2.三角形法则 向量的减法 数 乘 向量  三角形法则 ? a 是一个向量, 满足:| ?a |?| ? || a | ? 0 时, ?a与a 同向; ? 0 时, ?a与a 异向; ? =0 时, ? a ? 0 .  AB ? ?BA , OB?OA? AB 向 量 a ? b 是一个数 的 1. a ? 0或b ? 0 时， 数 a ? b ? 0 . 量 2. a ? 0且b ? 0时， a b ?| a || b | cos(a, b) 积 向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a ? b ? a ? b ? a ? b ． ? ? ? ?⑷运算性质：①交换律： a ? b ? ? ? ? ? ②结合律： a ? b ? c ? a ? b ? c ；③ a ? 0 ? 0 ? a ? a ． ⑸坐标运算：设a ? ?x , y ?， b ? ?x , y ?，则a ? b ? ?x ? x , y ? y ?． 1 1 2 2 1 2 1 2 向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设a ? ?x , y ?， b ? ?x , y ?，则a ? b ? ?x ? x , y ? y ?． 1 1 2 2 1 2 1 2 设? 、? 两点的坐标分别为?x , y ?，?x , y ?，则 ??? ?x? x y, ? y ?． 1 1 2 2 1 2 1 2 向量数乘运算： ⑴实数? 与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作? a ． ① ?a ? ? a ； ②当? ? 0 时， ?a 的方向与a 的方向相同；当? ? 0 时， ?a 的方向与a 的方向相反；当? ? 0 时， ? a ? 0 ． ⑵运算律：① ???a ?? ????a ；② ?? ? ??a ? ?a ? ?a ；③ ? ?a ? b ?? ?a ? ?b ． ⑶坐标运算：设a ? ?x, y?，则?a ? ??x, y?? ??x, ? y?． 向量共线定理：向量a ?a ? 0?与b 共线，当且仅当有唯一一个实数? ，使b ? ? a ． 设 a ? ?x , y ?， b ? ?x , y ?，其中b ? 0 ，则当且仅当 x y  x y ? 0 时，向量a 、b ?b ? 0?共线． 1 1 2 2 1 2 2 1 平面向量基本定理：如果e 、e 1 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且 只有一对实数? 、? ，使a ? ? e ? e ．（不共线的向量e 、e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 1 2 1 1 2 2 1 2 分点坐标公式：设点?是线段? ?  上的一点， ? 、? 的坐标分别是?x , y ?， ?x , y ?，当? ? ? ? ?? 时， 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ?点?的坐标是? x ? ?x y ? ? y 1 1 ? ．（当? ? 1时，就为中点公式。） ?2 , ? ? 1? 1? ? ? ?12?平面向量的数量积： ? 1 2 ? ⑴ a ? b ? a b cos? a ? 0,b ? 0,0 ? ? ? 180 ?．零向量与任一向量的数量积为0 ． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则① a ? b ? a ? b ? 0 ．②当a 与b 同向时，a ? b ? a b ；当a 与b 反向时， a ? b ? ? a b ； a ? a ? a2 ? a 2 或 a ? a ? a ．③ a ? b ? a b ． ⑶运算律：① a ? b ? b ? a ；② ??a ?? b ? ? ?a ? b ?? a ? ??b ?；③ ?a ? b ?? c ? a ? c ? b ? c ． ⑷坐标