高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习.docx

内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体， 这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 （2006 年广东高考题）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为 . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对 角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27 ? . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为 . 3解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 3 3因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 2 3 所以球的半径为 . 故该球的体积为4 3? . 2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 （2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直 14径。长方体体对角线长为 14 ，故球的表面积为14 ? . 例 4、（2006 年全国卷 I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16， 则这个球的表面积为（ ）. A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2，因此，长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，于是等同于例 3，故选 C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同 9 一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . ? 6x ? 3, 3? 3 ?9 ? x ? 1 , ??? 2 ?? 解 设正六棱柱的底面边长为 x ，高为h ，则有 ??8 ? 6 ? 4 x2h, ??h ? 3． r ? ∴正六棱柱的底面圆的半径 d ? ，球心到底面的距离  3 3 2 .∴外接球的半径 r2 ? d 2.R ? r2 ? d 2 . ? 4? 球 3 . 小结 本题是运用公式 R2 ? r 2 d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 3例 5 （2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其 3 外接球的表面积是 . 3解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等， 3  再设出球们更想使快联想到所以可构 造正方体模型，如图 1，则AC=BC=CD ? ，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体 对角线，故所求表面积是9? .(如图 1) 3例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 . 3 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长 3为 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 3 设其外接球的半径为 R ，则有 ?2R ?2 ? ? 3 ?2 ? ? 3 ?2 ? ? 3 ?2 ? 9 .∴ 9 R2 ? 4 . 故其外接球的表面积 S ? 4? R2 ? 9? . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂 直， 且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成 一个 长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的 外接 a2 ? b2 ? c2球的直径.设其外接球的半径为 a2 ? b2 ? c2 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则体对角线长为 ，几何体的外接球直径为 体对角线长 即 【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若 该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为 的长即： 所以 球的表面积为 2例 6 （2003 年全国卷）一个四面体的所