概率论第710章课后习题答案.docx

PAGE PAGE 10 习题七 设总体 X 服从二项分布 b（n，p），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数 p 的矩法估计. 【解】 E (X ) np,E (X ) A 1 X ,因此np= X 所以 p 的矩估计量 p X n 设总体 X 的密度函数 2 ( x), 0 x , f（x,θ）= 2 0, 其他. 1 2 nX ，X ，…，X 为其样本，试求参数θ 1 2 n 【解】 E (X ) 2 x( x)dx 2 0 令 E (X )=A = X ,因此 = X 1 3 所以θ的矩估计量为 2 x2 x3 , 2 2 3 0 3 ^ 3X . 估计. 设总体 X 的密度函数为 f（x，θ），X ，X ，…，X 为其样本，求θ的极大似然 1 2 ne x , 1 2 n （1） f（x，θ）= 0, x 0. （2） f（x，θ）= x 1 , 0 x 1, 0, 其他. n eie e e i e e 【解】（1） 似然函数L f(x , ) n x i n i i 1 i 1 i 1 n g lnL n ln x i i 1 由 dg d lnL n n x 0 知 d d i i 1 n n x i i 1 1 所以θ的极大似然估计量为 . X (2) 似然函数L n g x ni n i 1 1 ,0 x i 1 ,i=1,2,…,n. n lnL n ln ( 1)ln x i i 1 由d lnL n ln n x 0 知 d i i 1 n n n ln x i i 1  n lnx i i 1 所以θ的极大似然估计量为 n n lnx i i 1 从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取 10 人的收益率数据，结果如 序2 序 2 3 4 5 6 7 8 号 益率 收 .01 0.11 - 0.12 - 0.09 - 0.13 - 0.3 - .1 0 0.09 - 0.1 9 0 - 0.11 1 - 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 x 0.094 s 0.101893 n 9 EX x 0.094. 由 E (X 即有 2 ) D (X ) [E (X )]2 ,E (X 2 ) A 2 n x2 i 知 n i 1 2 [E (X )]2 A , 2 A [ A [E (X )]2 1 [10 10 i 1 X 2 i 10(X )2 ] 9 s10于是 0.9 9 s 10 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和 0.966. 5.随机变量 X 服从［ 0 ， θ］ 上的均匀分布， 今得 X 的样本观测值： 0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,，0.求7,θ0.的6 矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) E (X ) 2 ,令 E (X ) X ，则 2 X 且E ( ) 2E (X ) 2E (X ) , 所以θ的矩估计值为 2x 2 0.6 1.2且 2 X 是一个无偏估计. (2) 似然函数L  8 f(x , ) i i 1 1 8 ,i=1,2,…,8. 显然 L=L(θ)↓(θ0)，那么 max{ x }时，L=L(θ)最大, 1 i 8 i 所以θ的极大似然估计值 =0.9. 因为E( )=E (max{ x })≠θ,所以 = max{ x }不是θ的无偏计. 1 i 8 i 1 i 8 i 1 2 n设 X ，X ，…， X 是取自总体 X 的样本， E （X ）= μ，D （X ）= σ2， 1 2 n n 1 =k (X i 1 i 1 X )2 ,问 k 为何值时 i 2 为σ2 的无偏估计. 【解】令 Y X X ,i=1,2,…,n-1, i i 1 i 则 E (Y ) E (X ) E (X ) 0,D (Y ) 2 2 , i i 1 i i 于是 E 2 E [k( n 1i 1 n 1 Y 2 )] k(n 1)EY i 2 2 2 (n 1)k, 1 那么当E ( 2 ) 2 ,即2 2 (n 1)k 2 时, 有 k 1 . 2(n 1) 设X 1，X 2 是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本 2 X 1 3 1 1 X ; 3 2 1 X 2 4 1 3 X ; 4 2 1 X 3 2 1 1 X ; 2 2 试证 , , 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 1 2 3 【证明】（1） E ( ) E 2 X 1 X 1 3 1 3 2 2 E (X ) 3 1 1 E (X ) 2 1 , 3 2 3 3 E ( ) 2 E