第25讲 数系的扩充与复数的引入（讲）解析版.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES1 第25讲 数系的扩充与复数的引入 【学科素养】 1.通过方程的解，认识复数． 2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养． 【课标解读】 1.理解复数的基本概念，复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示法及其几何意义； 3.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【备考策略】 从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2022年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型. 【核心知识】 知识点一 复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设eq \o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2) 知识点二 复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \o(OZ,\s\up6(→)). 知识点三 复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝eq \f(ac＋bd＋(bc－ad)i,c2＋d2)(c＋di≠0). 【知识必备】 1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值. 2.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反. 3.i的乘方具有周期性 in＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝4k，,i，n＝4k＋1，,－1，n＝4k＋2，,－i，n＝4k＋3))(k∈Z). 4.复数的模与共轭复数的关系 z·eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \o(z,\s\up6(－))|2. 5.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. 【高频考点】 高频考点一 复数的相关概念 【例1】（2021·浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选C。 【变式探究】(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 【答案】C　 【解析】因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C. 【举一反三】(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2 【答案】C　 【解析】因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故选C. 【变式探究】（2020·新课标Ⅲ）复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， 所以复数的虚部为. 【变式探究】(2018·全国卷Ⅰ)设z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \r(2) 【答案】C　 【解析】法一：因