第27讲 等差数列及其前n项和（讲）解析版.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES1 第27讲 等差数列及其前n项和 【学科素养】 1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养． 2.与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养． 3.与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养． 4.与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养． 【课标解读】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【备考策略】 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型. 【核心知识】 知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 知识点三 等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(nd,2)； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 知识点四 等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n. 数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 知识点五 等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 【必会结论】等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d. 【高频考点】 高频考点一 等差数列基本量的运算 【例1】（2021·北京卷）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值. 【解析】由已知条件可得，则，因此，. 故选B. 【变式探究】(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________. 【答案】25 【解析】法一：设等差数列{an}的公差为d， 则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－4＋6d＝2，解得d＝1， 所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×9,2)×1＝25. 法二：设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1， 所以d＝eq \f(a4－a1,4－1)＝eq \f(1－?－2?,3)＝1， 所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×9,2)×1＝25. 【变式探究】 (2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)