全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法.docx

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法 方式 2：间接倍长 （图 2）作CF⊥AD 于 F，作BE⊥AD 的延长线于E, 连接 BE （图 3）延长MD 到 N，使DN=MD，连接CD BD B D C MBDC M B D C F B D C E N E 【经典例题】 例 1 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是 . （提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）  A B D C △ABC △ABC 中,AD 是BC 边中线 方式 1：直接倍长，(图 1)： 延长AD 到 E，使DE=AD，连接BE 例 2：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上， DE 交BC 于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法 1：过D 作 DG∥AE 交 BC 于 G，证明ΔDGF≌ΔCEF DF D F C B E 方法 2：过E 作EG∥AB 交BC 的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB DF D F C B E 方法 3：过D 作DG⊥BC 于G，过E 作EH⊥BC 的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH） DF D F C B E 例 3、如图，△ABC 中，E、F 分别在AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较BE+CF 与 EF 的大小. A EFB D E F 变式：如图，AD 为?ABC 的中线，DE 平分?BDA 交 AB 于E，DF 平分?ADC 交 AC 于 F. 求证：BE ? CF ? EF （提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG， 证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 A_ _E F_ B_ D_ C_ 方法 2： 倍长 ED 至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边） A_ E_ F_ _B D_ C_ 例 4：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF （提示：方法 1：倍长AD 至 G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。 A 方法 2：倍长ED.试一试，怎么证明？） B D C FE F E FEB D F E 例 5、如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点， 求证：AD 平分∠BAE. （提示：倍长AE 至 M,连接DM） A B D E C 变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至 F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS） A B E D C 变式二：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线， 求证：2AE＝AC。 A （提示：借鉴变式一的方法）  B E D C A_F_例 6：已知：如图，在?ABC 中， AB ? AC ，D、E 在 BC 上，且DE=EC，过D 作 DF //BA 交 AE 于点F，DF=AC. 求证：AE 平分 A_ F_ 提示： 方法 1：倍长AE 至 G，连结DG _B _D E_ _C 方法 2：倍长FE 至 H，连结CH _F_ _F B_ D_ _E C_ 【练习】 1、在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点F。试探究线段AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 A 提示：延长AE、DF 交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC D B C E F 2、已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于 M，AT 平分 BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE. 提示：过T 作 TN⊥AB 于N， 证明ΔBTN≌ΔECD A M D B E T C 3、 在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 于 M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。 DA D B C M 4、△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，DA⊥AC 于点 A，∠BAC=120°， 求证：AB=2BC. A B D C 5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM EA E A