人教版高一数学必修一第一章知识点与习题讲解.docx

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理 第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示 ¤知识要点 ¤知识要点： 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、 无序性. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来，基本形式为{a , a , a ,??? , a }，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 1 2 3 n 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{x ? A | P(x)}，既要关注代表元素 x，也要把 握其属性 P(x) ，适用于无限集. 通常用大写拉丁字母 A, B, C,??? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N， 正整数集 N *或 N ?，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号? 、 ? 表示，例如3? N ， ?2 ? N . ¤例题精讲 ¤例题精讲： 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： 由方程 x(x2 ? 2x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合； 大于 2 且小于 7 的整数. 解：（1）用描述法表示为：{x ? R | x(x2 ? 2x ? 3) ? 0}；用列举法表示为{0,?1,3}. （2）用描述法表示为：{x ? Z | 2 ? x ? 7}； 用列举法表示为{3,4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空：已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z}， B ? {x | x ? 6m ?1, m ? Z} ，则有： 17 A； －5 A； 17 B. 解：由3k ? 2 ? 17 ，解得k ? 5? Z ，所以17 ? A ； 由3k ? 2 ? ?5 ，解得k ? 7 ? Z ，所以?5? A ； 3 由6m ?1 ? 17 ，解得m ? 3? Z ，所以17 ? B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4） 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x ? 6 的图象的交点组成的集合； 二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合； 反比例函数 y ? 2 的自变量的值组成的集合. x ? y ? ?2x ? 6解：（1）{(x, y) | ? y ? x ? y ? ?2x ? 6 ? （2）{y | y ? x2 ? 4} ? {y | y ? ?4}. （3）{x | y ? 2} ? {x | x ? 0}. x 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4} ， 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心. 1 / 10 *【例 4】已知集合 A ? {a | x ? a ? 1有唯一实数解} ，试用列举法表示集合 A． x2 ? 2 解：化方程 x ? a ? 1为： x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 ．应分以下三种情况： x2 ? 2 ⑴方程有等根且不是? 2 ：由 △=0，得a ? ? 9 ，此时的解为 x ? 1 ，合． 4 2 ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是? 2 ：将 x ? 2 代入得a ? ? 2 ，此时另一解 x ? 1 ? 2 ， 合． ⑶方程有一解为 ? 2 ，而另一解不是 2 ：将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ，此时另一解为 x ? 2 ? 1，合． 综上可知， A ? {? 9 , ? 2, 2} ． 4 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造 成增根的现象. 第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系 ¤知识要点 ¤知识要点： 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset），记作 A ? B （或 B ? A ），读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ A ? B ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B ? A ），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 A ? B . 如果集合 A ? B ，但存在元素 x ? B ，且 x ? A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset），记作 A ?? B（或 B ?? A）. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作? ，并规定空集是任何集合的子集. 性质： A ? A ；若 A ? B ，