概率论及数理统计复习提纲.doc

- PAGE . z. 第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示； ②样本空间：样本点的全集，用表示； 注：样本空间不唯一. ③随机事件：样本点的*个集合或样本空间的*个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集； ⑤根本领件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 ①包含关系：，事件A发生必有事件B发生； ②等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生； ③互不相容〔互斥〕： ，事件A与事件B一定不会同时发生。 ④对立关系〔互逆〕：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足 注：互不相容和对立的关系〔对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。〕 3. 事件的三大运算 ①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。假设，则； ②事件的交：，事件A与事件B都发生； ③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。 4. 事件的运算规律 ①交换律： ②结合律： ③分配律： ④德摩根〔De Morgan〕定律： 对于n个事件，有 二、随机事件的概率定义和性质 1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件 都有确定的实值P(A)，满足以下性质： (1) 非负性：(2) 标准性： (3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有. 则称P(A)为随机事件A的概率. 2．概率的性质 ①② ③假设，则 ④ 注：性质的逆命题不一定成立的.如假设则。〔×〕假设，则。〔×〕 古典概型的概率计算 古典概型：假设随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点, ②每个样本点发生的概率一样，则称该概率模型为古典概型,。 典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则 (1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A1〕的概率为 (2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A2〕的概率为 四、条件概率及其三大公式 1.条件概率： 2.乘法公式： 3.全概率公式：假设，则。 4.贝叶斯公式：假设事件如全概率公式所述，且 . 五、事件的独立1. 定义：. 推广：假设相互独立， 2. 在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。 3. 三个事件A, B, C两两独立： 注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。〔相互独立两两独立，反之不成立。〕 4.伯努利概型： 1.事件的对立与互不相容是等价的。〔*〕 则。〔*〕 3.。(*) 4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨) 5. n个事件假设满足，则n个事件相互独立。(*) 6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。〔∨〕 第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。 二、分布函数及其性质 1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时， (1)*是离散随机变量，并有概率函数则有 (2) *连续随机变量，并有概率密度f (*)，则. 2. 分布函数性质： 〔1F(*)是单调非减函数，即对于任意*1*2，有； 〔2；且； 〔3离散随机变量*，F (*)是右连续函数, 即；连续随机变量*，F(*)在〔-∞，+∞〕上处处连续。 注：一个函数假设满足上述3个条件，则它必是*个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1. 定义. 设随机变量*只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，则称*为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为*的概率分布，或概率函数 (分布律). 注：概率函数pi的性质: 2.几种常见的离散随机变量的分布： 〔1〕超几何分布，*~H(N,M,n)， 〔2〕二项分布，*~B(n.,p)， 当n=1时称*服从参数为p的两点分布〔或0－1分布〕。 假设*i(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。 〔3〕泊松(Poisson)分布，， 四、连续随机变量及其分布 *的取值范围是*个实数区间I，且存在非负函数f(*)，使得对于任意区间，有 则称*为连续随机变量; 函数f (*)称为连续随机变量*的概率密度函数，简称概率密度。 注1：连续随机变量*任取*一确定值的概率等于0,即 注2： 2. 概率密度f (*)的性质：性质1：性质2： 注1：一个函数假设满足上述2个条件