切线长定理及三角形的内切圆数学九年级上册同步教学课件（人教版）.pptx

切线长定理及三角形的内切圆 学习目标1. 掌握切线长的定义及切线长定理；（重点）2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明；（难点）3. 认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角 形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 情境引入 同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？讲授新课切线长定理及应用POBAO.PA B 互动探究24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 P1. 切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．AO① 切线是直线，不能度量；② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．2. 切线长与切线的区别在哪里？知识要点24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B． OB 是☉O 的一条半径吗？ PB 是☉O 的切线吗？（利用图形轴对称性解释） PA、PB 有何关系？∠APO 和∠BPO 有何关系？OPAB24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 切线长定理： 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、BPA = PB∠OPA = ∠OPB几何语言：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意BPOA∴要点归纳24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 O.P已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，∵ OA = OB，OP = OP，∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.AB∴ OA⊥PA，OB⊥PB.推理验证24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明.解：OP 垂直平分 AB..证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线∴ OP 垂直平分 AB.M想一想：OPA B 24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 归纳拓展PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.BPOACED（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC（3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB.（4）图中所有的全等三角形:△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.（5）图中所有的等腰三角形: △ABP △AOB24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC.CA=CBO.PABC拓展延伸24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.求证：AB + CD = AD + BC.证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴ AE = AH，BE = BF， CG = CF，DG = DH.∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，即 AB + CD = AD + BC.典例精析24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 变式训练如图，四边形 ABCD 是☉O 的外切四边形，且 AB = 10，CD = 15，则四边形 ABCD 的周长为______．50·ABCDO24.2.4切线长定理及三角形的内切圆 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用