基本不等式(经典).ppt

3.4基本不等式 : 一、问题引入2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。 情景设置 新课探究 新课探究 一般地，对于任意实数 ，我们有当且仅当时等号成立思考：如何证明？ 证明：当且仅当 时，此时 平方 小组合作：当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？ P98探究在右中，AB是的直径，点C是AB上的一点，AC = a , BC = b 。点C作垂直于AB的弦DE，接AD、BD。E基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。” 二 新课讲 解探究31.思考:如果当、用去替换中的 ,能得到什么结论?基本不等式（当且仅当a=b时，等号成立）几何平均数算术平均数2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中 项 重要不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a =b时，等号成立.基本不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等 基本不等式时等号成立当且仅当时等号成立当且仅当结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例题讲 解例1:已知x＞1,求 x＋的最小值以及取得最小值时x的值。解：∵x＞1 ∴x－1＞0构造积为定值∴x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝3当且仅当x－1＝时取“＝”号.于是x＝2或者x＝0（舍去）答：最小值是3，取得最小值时x的值为2 例2．（1）用笆一个面100 的矩形菜园，个矩形的多少，所用笆最短？最短的笆是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？解法一： 解法二：(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中0＜x＜18 ,其面积为:当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2. 【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m深为3m，如果池底每1m 的造价为150元，池壁每1m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？3,22设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得解： 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 例题讲解例3 已知x0,y0,且x+y=1　 　 　(1)基本不等式取等号的条件正确？(2) “1”的代换在不等式中的应用求的最小值．错 综合应用赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?分析：“年平均费用”的含义？ 解：设使用x年后，年平均费用为y万元，则即当x=10时，y有最小值3万元答：使用10年后，年平均费用最少。