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爱情最忌讳的两种态度:一种是暧昧不清,一种是忽冷忽热。暧昧不清容易让人迷失自我,忽冷忽热则容易把人变得白痴
多元统计分析 第一章 多元正态分布§1.1多元分布的基本概念§1.2统计距离和马氏距离§1.3多元正态分布§1.4均值向量和协方差阵的估计§1.5常用分布及抽样分布 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 多元正态分布一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样,在多变量统计学中,多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是:许多随机向量确实遵从正态分布,或近似遵从正态分布;对于多元正态分布,已有一整套统计推断方法,并且得到了许多完整的结果。 目录 上页 下页 返回 结束 多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外,还有多元对数正态分布,多项式分布,多元超几何分布,多元 分布、多元 分布、多元指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始,着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。第一章 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 §1.1多元分布的基本概念§1.1.1随机向量§1.1.2分布函数与密度函数§1.1.3多元变量的独立性§1.1.4随机向量的数字特征 目录 上页 下页 返回 结束 假定所讨论的是多个变量的总体,所研究的数据是同时观测 个指标(即变量),又进行了 次观测得到的,把这 个指标表示为 常用向量 表示对同一个体观测的 个变量。若观测了 个个体,则可得到如下表1-1的数据,称每一个个体的 个变量为一个样品,而全体 个样品形成一个样本。§1.1.1 随机向量 目录 上页 下页 返回 结束 横看表1-1,记 , 它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 列的元素 表示对 第个变量 的n次观测数值。下面为表1-1 变量序号…1…2… n…§1.1.1 随机向量 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.1 设 为p个随机变量,由它们组成的向量 称为随机向量。 §1.1.1 随机向量因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:若无特别说明,本书所称向量均指列向量 目录 上页 下页 返回 结束 §1.1.2 分布函数与密度函数 描述随机变量的最基本工具是分布函数,类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。定义1.2 设 是以随机向量,它的多元分布函数是 式中:多元分布函数的有关性质此处从略。 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.3:设= ,若存在一个非负的函数 ,使得 对一切 成立,则称 (或 )有分布密度 并称 为连续型随机向量。§1.1.2 分布函数与密度函数 目录 上页 下页 返回 结束 一个p维变量的函数f(·)能作为 中某个随机向量的分布密度,当且仅当定义1.4:两个随机向量 和 称为是相互独立的,若 对一切 成立。若 为 的联合分布函数, 分别为 和 的分布函数,则 与 独立当且仅当 (1.4) 若 有密度 ,用 分别表示 和 的分布密度,则 和 独立当且仅当 (1.5)注意:在上述定义中, 和 的维数一般是不同的。§1.1.3 多元变量的独立性 目录 上页 下页 返回 结束 1、随机向量 X的均值 设 有P个分量。若 存在,我们定义随机向量X的均值为:méùéùE(X)11êúêúmE(X)()êúêú22===E(X)μ1.6êúêú êúêúmE(X)????PP当 为常数矩阵时,由定义可立即推出如下性质:§1.1.4 随机向量的数字特征 目录 上页 下页 返回 结束 ?是一个p维向量,称为均值向量.2、随机向量 自协方差阵 称它为 维随机向量 的协方差阵,简称为 的协方差阵。称 为 的广义方差,它是协差阵的行列式之值。§1.1.4 随机向量的数字特征 目录 上页 下页 返回 结束 设 分别为 维和 维随机向量,它们之间的协方差阵定义为一个 矩阵,其元素是 ,即 §1.1.4 随机向量的数字特征3、随机向量X 和Y 的协差阵当A、B为常数矩阵时,由定义可推出协差阵有如下性质: 目录 上页 下页 返回 结束 (3)设X为 维随机向量,期望和协方差存在记 则 对于任何随机向量 来说,其协差阵∑都是对称阵,同时总是非负定(也称半正定)的。大多数情形下是正定的。§1
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