微分方程的普通解法.pdf

微分方程的解法 1. 微分方程的基本概念 常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条 件和特解的概念。 2. 一阶微分方程 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 会解齐次方程和贝努利方程并从中领会变量代换求解微分 方程的思想。 3. 可降阶的高阶方程 (n)     会y f (x) ,y f (x ,y ) ,y f (y ,y ) 的降阶解 法。 4. 二阶线性微分方程 理解二阶线性微分方程解的结构。 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数 线性齐次微分方程的解法。 会求非齐次项形如 P (x)ex ex (P (x) cos x P (x) sin x) m l n , 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 5.例题 2 1 y Cx   例 验证函数 2 是微分方程xy 2y  1 0 的解。 2 1 y Cx    解 将 2 和y 2Cx 代入xy 2y  1 0 的左边 得 2 2 2Cx 2Cx 11 0 , 2 1 y Cx   所以 2 是方程xy 2y  1 0 的解。 2  y 1 y 例 求微分方程 2x 的通解。 dy dx 解 这是可分离变量的微分方程, 分离变量得y 2 1 2x ,解 此方程如下: 1 y 1 1 y 1 ln ln x  ln C  Cx 1 2 y 1 2 y 1 . 即得通解为 y 1 Cx(y  1) . 2  y y 2 例 求微分方程 xy x 的通解。