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平面向量基本定理及坐标表示环节一 平面向量基本定理
引入新课问题1 已知向量e1,e2(如图),求作向量3e1;-2.5e2;e1+e2. e1 + e2 e2 -2.5e2 e13e1 e1e2 e1e2
问题2 已知两个力,可以求出它们的合力;反过来,一个力可以分解为两个力.类似地,我们能否通过作平行四边形,将向量a分解为两个向量,使向量a是这两个向量的和呢? e1e2 a移到同一起点;向量a可以分解为两个向量的和作平行四边形课堂探究OACBMNa e1e2
一般地,对给定不共线的向量e1,e2,任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.追问2 当a是零向量时,a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗?为什么?追问1 当a是与e1或e2共线的非零向量时,a也可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗?答案:可以, 此时λ1=λ2=0答案:可以, 此时λ2=0或λ1=0课堂探究
表示形式是唯一的若a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2.得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0.理由:则λ1-μ1,λ2-μ2全为0,即λ1=μ1,λ2=μ2.问题3 平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式,这种表示形式是唯一的吗?假设λ1-μ1,λ2-μ2不全为0,不妨假设λ1-μ1≠0,则 .由此可得e1,e2共线,与已知e1,e2不共线矛盾.课堂探究
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 如果e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base).课堂探究
知识应用例1 如图, , 不共线,且 =t (t∈R),用 , 表示 .解:因为 ,.所以你有什么发现?A,B,P三点共线,则系数和等于1.
知识应用例2 如图,CD是△ABC的中线,且CD= AB,用向量方法证明△ABC是直角三角形.分析:由平面向量基本定理可知,任一向量都可由同一个基底表示.CADB可选 为基底,表示 , .证明 ,从而证得△ABC是直角三角形.
知识应用例2 如图,CD是△ABC的中线,且CD= AB,用向量方法证明△ABC是直角三角形.CADB证明:如图,设 =a, =b,则 =a+b, =a-b..因为CD= AB,所以CD=DA.因为a2=CD2,b2=DA2,所以 .因此CA⊥CB.结论成立.
知识应用练习1 如图,在△ABC中,AD= AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设 =a, =b.(1)用a,b表示 , ;(2)如果∠A=60o,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论.
知识应用练习1 如图,在△ABC中,AD= AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设 =a, =b.(1)用a,b表示 , ;(2)如果∠A=60o,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论.(1) = , = .答案:
知识应用练习1 如图,在△ABC中,AD= AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设 =a, =b.(1)用a,b表示 , ;(2)如果∠A=60o,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论.(2) ,所以CD⊥EF.答案:
问题 通过本节课的学习,你有哪些收获?试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.归纳小结答案:1.任何一个平面向量都可以唯一地表示成两个不平行向量的线性组合,即a=λ1e1+λ2e2. 2.了解基底{e1,e2}的含义与特点; 3.根据实际问题选择基底,将平面向量用所给基底表示. 4.利用平面向量基本定理,借助向量运算,解决有关几何问题.
平面向量基本定理及坐标表示环节二 平面向量的正交分解及坐标表示
(2)已知向量e1,e2,作出向量a在e1,e2方向上的分解.问题1 (1)什么是平面向量基本定理? 引入新课ae1e2ae1e2ae1e2ae1e2
课堂探究问题2 阅读教科书6.3.2节
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