8.7 双曲线及其性质课件-2023届高三数学一轮复习.pptx

第七节　双曲线及其性质【课标标准】　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．差的绝对值焦点焦距2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)图形性质范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________顶点________________________渐近线________________________离心率e＝∈____________实轴与虚轴实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________a，b，c的关系c2＝________(ca0，cb0)x∈R，y≤－a或y≥ax≥a或x≤－a，y∈R坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)?y＝±x? y＝±x(1，＋∞)2a2bbaa2＋b2?[常用结论](1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.(3)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.(4)与双曲线＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)．?夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　)(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　)(3)双曲线＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　)(4)关于x，y的方程＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　)×√√×2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是(　)A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x?答案：C?解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．?＝1?解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，解得λ＝15，所以所求双曲线的方程为＝1.4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．?6?解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，∴a＝1，b＝4.则||PF1|－|PF2||＝2，可设|PF2|＝4，则|PF1|＝2或|PF1|＝6，∵c＝4，∴|PF1|2，∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．?2?解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，当＝时，e＝＝＝2；当＝时，e＝＝ ＝.?题型一　双曲线的定义及应用例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程(　)A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x≥1)D．－x2＝1答案：A?解析：如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.?(2)[2023·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a0，b0)的离心率为3，焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上．若△AF1F2的周长为14a，则△AF1F2的面积是(　)A．a2 B．15a2C．2a2 D．2a2答案：C?解析：不妨令A在双曲线右支，依题意可得|F1A|＋|F2A|＋2c＝14a，|F1A|－|F2A|＝2a，c＝3a，解得|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，又|F1F2|＝2c＝6a，由余弦定理|