高三文科数学专题 对数平均不等式.pptx

专题一　函数与导数重点　对数平均不等式在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果.内容索引考点一　对数平均不等式专题强化练考点一 对数平均不等式例1不妨设a＞b＞0，所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t)在(1，＋∞)上单调递减，规律方法该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将 看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击.跟踪演练1(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②若a＞2，令f′(x)＝0，得由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x2x10，则x2＞1.又x2x10，∴x1－x20，ln x1－ln x20，即证原不等式成立. 专题强化练1.(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝x＋b(1＋ln x)(b∈R).(1)求f(x)的单调区间；12若b≥0，则f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若b0，令f′(x)＝0，得x＝－b，当x∈(0，－b)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(－b，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，综上，若b≥0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；若b0，f(x)的单调递减区间为(0，－b)，单调递增区间为(－b，＋∞).12(2)设g(x)＝f(x)－ sin x，若存在0x1x2，使得g(x1)＝g(x2)，求证：①b0；12g′(x)0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0x1x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以b0.12②x1x24b2.12令m(x)＝x－sin x(x0)，m′(x)＝1－cos x≥0，当x→0时，m(x)→0，故m(x)0，即xsin x，因为g(x1)＝g(x2)，12122.(2022·抚州模拟)已知函数f(x)＝x(ln x＋a)，a∈R.(1)求f(x)的单调区间；因为f(x)＝x(ln x＋a)，故可得f′(x)＝ln x＋a＋1，x0，又y＝ln x＋a＋1为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝e－a－1，故当0xe－a－1时，f′(x)0；当xe－a－1时，f′(x)0，故f(x)的单调递减区间为(0，e－a－1)，单调递增区间为(e－a－1，＋∞).12(2)当a＝1时，求证：ef(x)≤xex在(0，＋∞)上恒成立.12当a＝1时，f(x)＝x(ln x＋1)，要证ef(x)≤xex，即证ex(ln x＋1)≤xex，又x0，则只需证ln x＋1≤ex－1，又ln x＋1≤x，ex－1≥x，且等号都在x＝1处取得，所以ln x＋1≤ex－1，当x＝1时等号成立，即ef(x)≤xex在(0，＋∞)上恒成立.12课后作业：1.课后练习若a＞0，b＞0，a≠b，求证：＜＜.令＝t(t＞1)，则需证明2ln t＜t－(t＞1)，①要证＜成立，即证＜，则f′(t)＝－1－＝－＜0，即证ln ＜，即证ln ＜－，构造函数f(t)＝2ln t－t＋(t＞1)，即证2·＜ln ，又f(1)＝0，所以f(t)0，即2ln t＜t－，原不等式得证.②要证＜，只需证2·＜ln ，令t＝(t＞1)，即证2·＜ln t.∴φ(t)φ(1)＝0，即2－ln t，∴原不等式得证.即证2－ln t，构造函数φ(t)＝2－－ln t(t1)，φ′(t)＝－＝0，综上，＜＜.已知函数f(x)＝－x＋aln x.当x∈∪时，f′(x)＜0；x＝或x＝.当x∈时，f′(x)＞0.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.在上单调递增.所以f(x)在，上单调递减，(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.由对数平均不等式知＝1，由于＝－－1＋＝－2＋，∴＝－2＋－2＋a，∴01，由题意，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，g(x)＝x＋b(1＋ln x)－sin x，若b≥0，则由1－0，≥0得g′(x)＝1－＋，所以－b(ln x2－ln x1)＝x2－x1－(sin x2－sin x1)(x2－x1)，即x1＋b(1＋ln x1)－sin x1＝x2＋b(1＋ln x2)－sin x2，又0x1x2，所以－2b0，所以，根据对数平均不等式＜＜，所以－2b，故x1x24b2.