大学物理课件-刚体动力学.pptVIP

* 设刚体绕固定轴Oz以角速度? 转动,各体元的质量分别为?m1 , ?m2 , … , ?mn ,各体元到转轴Oz的距离依次是r1 , r2 , … , rn。 n 个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为 一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ) 刚体动力学 * 式中 称为刚体对转轴的转动惯量 (rotational inertia) ， 代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似的。 用J 表示为 * 二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点质量 m 相对应。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。 转动惯量J等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的和，而与质点的运动速度无关，决定于刚体的各部分的质量对给定转轴的分布情况。 与转动惯量有关的因素： 刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置。 * 转动惯量的求法： 只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用实验方法测定。 若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替 SI制中，J的单位为kg·m2 线密度、面密度、体密度 * 几种常见形状的刚体的转动惯量 * * § 转动惯量 一、定义 二、J与哪些量有关 三、计算 四、正交轴定理 * 对于固定转轴的转动惯量 例 如图所示质点系 J 的物理意义：转动中物体惯性的量度。 一、定义 * (2) 质量一定，与质量分布有关。 二、J 与那些量有关 (1) 与刚体总质量有关， 大。 大， (3) J 和转轴有关 平行轴定理 三、计算 1) 对称的 简单的 查表 2) 平行轴定理 (parallel axis theorem) 在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小. * 证 C 为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为坐标原点，取 对通过A 点的转动惯量为 此定理可用于任何形状的刚体，但必须是平行轴。 质心轴 任意轴 * 　　薄板状刚体对板面内两正交轴的转动惯量之和等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量。这个关系称为正交轴定理。证明如下：如图。 此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，Z 轴与板面正交。 四、垂直（正交）轴定理 * 例1 如图，一质量为 m 半径为 R 的实心球，求绕过球心的转轴的转动惯量。 取有一定厚度的圆盘，圆盘对O 轴的转动惯量 变量代换 * 例1 一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m 的均匀细棒，绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度?=63 rad?s-1 旋转，求转动动能。 解 先求细棒对转轴的 转动惯量J，然后求转动动能Ek。 将棒的中点取为坐标原 点，建立坐标系Oxy，取y 轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为 x dx x y O * 棒的转动动能为 根据式 , 应有 * 解 两平行轴的距离 , 代入平行轴定理， 得 例2 在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 * · R O x y 例 3 求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通 过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。 解 盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为 取半径为r、宽为 dr的圆环如图所示，其质量为 圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为 r dr * 根据垂直轴定理 由于对称性, , 所以 解得 * 三、力矩作的功 在刚体转动中，如果力矩的作用使刚体发生了角位 移，那么该力矩也作了功。 因为dsi = ri d?，并且cos?i = sin?i，所以 假设作用于以z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别是 在刚体转动中，外力 所作的元功为 * 式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。 在整个刚体转过d?角的过程中，n个外力所作的 总功为 式中 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力 矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。 *