探究性策略在数学教学中的应用.docx

PAGE 1 PAGE 1 高中数学案例 探究性策略在数学教学中的应用 ——三角函数的奇偶性案例分析 [案例主题] 函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有： 1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？ 2、 y ? A sin(? x ? ?) 及 y ? A cos(? x ? ?) 型函数的对称中心和对称轴. [案例背景] 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函 数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一 部分上的性质和图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想） 片段一:（奇偶函数的图象特点和性质探究） 师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？ 生：图（1）两边成对称图形，在图（2）中关于 y 轴对称。 师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出 y ? ?3 x 和 y ? x2 ? 2 的图象并观察有何特点？ 生：奇函数 y ? ?3 x 的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函 数 y ? x2 ? 2 的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于 y 轴对称。师：回答得太棒了！大家再作出 y ? 4 x 和 y ? x2 的图象，观察是否有类似的规律？ 生： y ? 4 x 的图象也是关于原点成中心对称图形； y ? x2 与 y ? x2 ? 2 的图象一样也关于 y 轴对称。 师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数。 师：请同学们思考自学课本P51 倒数第二段。 生：噢，原来如此。 师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数 y ? 3 x2  的图象？ 3 生 3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出 y ? x2 +∞）上的图象，但我不知该怎样做？ 生 4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。） 生（全体）：真棒！ 片段二:（对称中心和对称轴的探究） 在（0， 师：上两节课我们学习了正余弦函数的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请大家结合函数图象讨论是否还有其他性质。我们先从正弦函数开始。 生 1：正弦函数图象关于原点对称，因为它是奇函数。 生 2：正弦函数关于直线 x ? ? 对称 2  3? ? 5? 生 3：因正弦函数是周期函数，我发现 y ? sin x 还关于直线 x ? ? , x ? , x ? , 2 2 2 ?x 7? ?对称，关于点 (?2? ,0),(0,0),(2 ? 2 ? ,0),(4 ? ,0)... 对称，他们之间都相差 2? 的整 数倍 生 4：不对，我觉得应该是关于直线x ? ? ? 2 , x ? ? 2  , x ? 3? 5? , x ? ?对称，关于点 2 2 (?? ,0),(0,0),( ? ,0),(2 ? ,0)... 对称，他们之间都相差? 的整数倍。师：太棒了。 （余弦函数的对称中心和对称轴的探究略） 师：好，我们下面进一步对他们进行深入研究，首先大家试试能否说出y ? sin 2 x 的对 称中心和对称轴。 ? 生：结合函数图象容易看到它的对称中心是(? ,0),(0,0),(  ? ,0),( ? ,0)... ，对称轴是 x ? ? ? 4 , x ? ? 4 , x ? 3? 4 ? 2 2 ... ? 师： y ? sin(2 x ? ) 呢？ y ? 2sin(2 x ? 2 ) 呢？ 2 生：用五点点法画出函数图象观察后可得，两者对称中心和对称轴相同，它的对称中心 ? ? 3? ? ? 是(? ,0),( ,0),( ,,0),... 对称轴是 x ? ? , x ? 0, x ? ... 4 4 4 2 2 师：good!大家发现找对称轴和对称中心有什么规律没有？ 生甲：（急不可待）我发现了，对称中心实际上就是图象与x 轴交点的坐标，而对称轴是函数取得最大或最小值时所对应的变量x 的取值。 生乙： y ? sin(2 x ? 单吗？ ? ) 可用诱导公式变为 y ? cos 2 x ，利用余弦函数的图象不是更简 2 师 ： 两 个 同 学 说 得 都 非 常 棒 。 生 甲 说 出 了 对 于 求 y ? A sin(? x ? ?) 及 y ? A cos(? x ? ?) 型函数对称中心和对称轴的通