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* 标势的边值关系 一边是导电介质、一边是绝缘介质： 即， 3．静电场的能量 由第一章§6 可知，在线性介质中静电场的总能量为: （1.13） 在静电场情形下，W 可以用电势和电荷分布表出。 * 式中右边第二项是散度的体积分，它可以化为面积分，积分遍及无穷远界面。 * 由于 ? ~1/r ，D ~1/r2，而面积 ~r2，所以当 r →∞时面积分趋于零，因此： （1.14） 这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量。注意这公式只有作为静电总能量才有意义，不应该把 (ρ? )/2 看作能量密度，因为能量分布于电场内，而不仅在电荷分布区域内。 * （1.14）式中的 ? 是由电荷分布ρ 激发的电势。若全空间充满均匀介质，介电常数为 ε ， * 可以应用（1.13）—（1.15）各式中任一公式来计算静电场总能量。 讨论： 1）在静电场中之所以能够通过电荷分布来表示场能量，是因为在这情况下电荷分布决定电场，在场内没有独立的运动，因而场的能量就由电荷分布决定。 2）在非恒定情况下，电场和磁场互相激发，其形式就是独立于电荷分布之外的电磁运动，因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。 * * 解：均匀电场中每一点的强度 E0都相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 ? 0 ，则任一点 P 处的电势。 * 例1 求均匀电场 E0 的电势。 x 为 P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选 ? (∞) = 0。 若选 ? (0)= 0 ，则有 * 例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为 τ ，求电势。 解：如图2-2，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元τdz 到P点的距离为（ z2 +R2 ）1/2 ，由 得: 积分结果无穷大 * 无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。计算两点 P 和 P0 的电势差可以不出现无穷大。设P0 点与导线的垂直距离为R0 ，则P点和P0 点的电势差为: * * 静电场 把电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 静止电荷，相应的电场不随时间而变化。 问题：给定 （1）自由电荷分布， （2）周围空间介质， （3）导体分布的情况， 怎样求解静电场？ * 为此 引入静电场标势概念。静电问题通常都是通过标势来求解的。 1）先给出标势的定义及其微分方程和边值关系。 2）讲述解静电场问题的方法——分离变量法、镜像法和格林函数法。 3）计算在局部范围的电荷分布所激发的电场在远处的展开式，从而引入电多极矩的概念。 * §1 静电场的标势及其微分方程 1. 静电场的标势 静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程的电场部分： （1.1） 表示静电场的无旋性 （1.2） 自由电荷分布 ρ 是电位移矢量 D 的源* 两方程＋介质的电磁性质方程构成解决静电问题的基础。 * 静电场的一个重要特性是无旋性，因此可以引入一个标势来描述静电场，与力学中用势函数描述保守力场的方法一样。无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环量等于零： （1.3） 设C1和C2为由P1点到P2电的两条不同路径。C1与?C2合成闭合回路，因此有 * * * 虽然只有势的差值才有物理意义。但在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确定了。参考点的选取是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。 * 令j (∞) = 0，由（1.4）式得： （1.4a） 式（1.4）和（1.5）是电场强度和电势的一般关系式。 当已知电场强度时，可以求出电势； 反之，已知电势j 时，通过求梯度就可以求得电场强度。 * *