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§13 —1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是一种数学变换。 定义： F(s)= f(t)e–stdt ? 0– ? 拉普拉斯正变换 f(t)= F(S)estds 2?j 1 ? ?+j? ?–j? 拉普拉斯反变换 S=?+j? f(t) 原函数 F(s) 象函数 拉氏正变换 拉氏反变换 以一对应 简写符号 F(s)=L[f(t)] f(t)=L–1[F(s)] 例： 解： F(s)= f(t)e–stdt ? 0– ? 1. F(s)=L[?(t)] = ?(t)e–stdt ? 0– ? = e–stdt ? 0– ? = 1 s = – e–st 1 s ? 0– 2. F(s)=L[?(t)] = ?(t) e–stdt ? 0– ? = ?(t)dt ? 0– 0+ =1 计算下列原函数的象函数； 1.f(t)=?(t) 2.f(t)=?(t) 3. f(t)=e–?t ?(t) 4. f(t)=t ?(t) 3. F(s)=L[e–?t ?(t) ] = e–?t e–stdt ? 0– ? ? 0– = – ?+s 1 e–(?+s)t = ?+s 1 4. F(s)=L[t?(t)] = te–stdt ? 0– ? =– [te–st ] 1 s ? 0– – e–stdt ? 0– ? = 1 s2 同理： F(s)=L[tn ?(t)]= n? Sn+1 §13 —2 拉普拉斯变换的基本性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s) 则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] = [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt ? 0– ? = A1f1(t) e–stdt +A2f2(t)e–stdt ? 0– ? =A1 f1(t) e–stdt +A2 f2(t)e–stdt ? 0– ? ? 0– ? =A1F1(s)+A2F2(s) 一、线性性质 例： 计算下列原函数的象函数； 1、常数U 2、A(1–e–?t) 3、sin?t 解： 1、L[U] 2、L[A(1–e–?t)] 3、L[sin?t] = s2+?2 ? =L[A]–L[Ae–?t] ?A s(s+?) = A s A s+? = – =L[U ?(t)] U s = 1 2j 1 2j =L[ ej?t– e–j?t] 1 2j s–j? 1 – 1 2j s+j? 1 = 同理： L[cos?t] = s2+?2 s 二、(时域)微分性质 设：L[f(t)]=F(s) 则：L[f ?(t)]=sF(s)–f(0–) 证： L[f ?(t)]= ? 0– ? df(t) dt e–stdt = ? 0– ? e–stdf(t) =e–stf(t) – f(t)(–s)e–stdt ? 0– ? 0– ? =–f(0–)+s f(t)e–stdt ? 0– ? =sF(s)–f(0–) 导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以s再减去初始值的代数运算。 推广： L[f ??(t)]=s2F(s) – sf(0–)–f ?(0–) L[fn(t)]=snF(s) – sn–1f(0–)–sn–2f ?(0–) ……f(n–1)(0–) 例： ?(t) R C uC 求：uc(t)的冲击相应 解： c duc dt + uc=?(t) 1 R 等式两边进行拉普拉斯变换 L[c ]+L[ uc]=L[?(t)] duc dt 1 R scUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 1 R (sc+ )UC(s)=1 1 R UC(s)= sc+ 1 R sc+ 1 = 1 C s+ 1 RC 1 进行拉氏反变换 uc(t)=L–1[ ] 1 C s+ 1 RC 1 1 C = e – ? t 三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s) 则：L[ f(?)d(?)]= ? 0– t F(s) s 积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 证： d dt ? 0– t f(?)d(?)=f(