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* ? ? 20 20 ?0=45° 2?0 ?1 ?1 ?3 ?3 * [练习4]试用图解法求图示微体的主应力、最大切应力、并在微体上标出主应力的方位。 解：已知 取: 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。 ? ? C O B1 D1 D2 B2 100 50 50 * ? ? C O B1 D1 D2 B2 100 50 50 A1 A2 2?0 ?1 ?1 ?3 ?3 ?0=22.5° * [例8-5]已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求? 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。 95MPa 45MPa ? 2? o a a b b C 95 45 * 95MPa 45MPa ? 2? o a a b b C 95 45 A1 A2 ?1 ?2 2?a 2?b ?a ?b * §8–4 梁的主应力及主应力迹线 1 2 4 5 1 2 3 4 5 m m 1 5 3 ?1 ?1 ?1 ?1 ?3 ?3 ?3 ?3 2 3 4 * 梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力?1和压主应力?3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。 x 1 1 截面 2 2 截面 3 3 截面 4 4 截面 i i 截面 n n 截面 b a c d 主应力迹线的画法： * 拉力 压力 ?1 ?3 ?1 ?3 图示为悬臂梁的主应力迹线 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 * q ?1 ?3 ?3 ?1 图示混凝土梁自重下的主应力迹线。 混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。 * §8–5 空间应力状态简介 s1 s2 x y z s3 1、空间应力状态 * 2、三向应力圆 ?1 ?2 ?3 ?1 ?2 ?3 ?1 ?2 ?3 ?1 ?2 ?3 * * ?max ?min 3、最大切应力 ?1 ?2 ?3 最大切应力所在的截面与?2平行，与第一、第三主平面成45°角。 * §8–6 广义虎克定律 P P ? ? ? ?′ * = + ?1′ ?2″ ?2′ ?1″ 一、平面应力状态的广义虎克定律 * 正应变只跟正应力有关，与切应力无关；剪应变只跟切应力有关，与正应力无关； * 二、三向应力状态的广义虎克定律 ?1 ?2 ?3 x y z ?xy ?xz ?x ?y ?z ?yx ?yz ?zx ?zy * [例8-6]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为? ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力?x 、?y 、?z 和应变?x 、?y 、?z 。 P x y z ?x ?y ?z 解： 由已知可直接求得： * P x y z ?x ?y ?z * [例8-7]已知E=10GPa、?=0.2，求图示梁n－n 截面上 k 点沿30°方向的线应变? 30°。 n n k 1m 1m 2m A B 200 150 75 75 k 30° * n n k 1m 1m 2m A B 200 150 75 75 k 30° * n n k 1m 1m 2m A B 200 150 75 75 k 30° ?30° ?-60° 30° -60° * n n k 1m 1m 2m A B 200 150 75 75 k 30° ?30° ?-60° 30° -60° * [例8-8]薄壁筒内压容器(t/D≤1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、? 已知。已测得筒壁上 k 点沿45°方向的线应变? 45°，求筒内压强p。 k p t D ?x ?x ?y ?y 解： 筒壁一点的轴向应力： 筒壁一点的环向应力： * k p t D ?x ?x ?y ?y ?45° ?-45° 45° -45° * [练习5]受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、? ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变? ab 。 A B m m d a b 45° ? 解： * 应力状态 §8–1 应力状态的概念 §8–2 平面应力状态分析的解析法 §8–3 平面应力状态分析的图解法 §8–4 梁的主应力及主应力迹线 §8–5 空间应力状态简介 §8–6 广义虎克定律 §8–7 复杂应力状态下的体积应变、比能 §8–8 平面应力状态下的应变分析 * 一、一点的应力状态 P P m m