专题基本不等式常见题型归纳(学生版)文档.docx

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号． ＋ ab，当且仅当a＝b时取等号． （2）a，b∈R，a＋b≥2 （3）a，b∈R， a2＋b2 a＋b )2，当且仅当a＝b时取等号． ≤( 2 2 上述三个不等关系揭穿了 a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系． ＋ a＋b 其中，基本不等式及其变形： a，b∈R，a＋b≥2ab(或ab≤( 2)2)，当且仅当 a＝b时 取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用凑合法构造不等关系 【典例 1】已知a＞b＞1且2logab 3logba 7，则 a 1 的最小值为 . 2 1 b 练习：1．若实数x,y满足x y 0，且log2x log2y 1，则 x2 y2 x 的最小值为 ． y 2.若实数x,y满足xy 3x 3(0 x 1)，则 3 1 的最小值为 ． x y 2 3 3.已知a0,b0,c 2，且a b 2 ，则ac c c 5 的最小值为 . b ab 2c 2 【典例 2】已知x，y为正实数，则 4x ＋y 的最大值为 ． 4x＋y x＋y 【典例 3】若正数a、b满足ab a b 3,则a b的最小值为__________. 变式：1.若a,bR,且满足a2 b2 a b,则a b的最大值为_________. 2.设x0,y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为_______ 3.设x,yR，4x2y2xy1，则2xy的最大值为_________ 19 4.已知正数a，b满足ab5，则ab的最小值为 ab 第1页共9页 【题型二】含条件的最值求法 【典例4】已知正数x,y满足x 4 1 y1，则 的最小值为 x2 y1 练习1．已知正数x,y满足1 1 1，则4x 9y的最小值为 . x y x1 y1 2.已知正数x,y满足x 2y2，则x 8y的最小值为 ． xy 3．已知函数yax b(b 0)的图像经过点 P(1,3)，以以下图所示， 则 4 1的最小值为 . a 1 b 4．己知a，b为正数，且直线axby6 0与直线2x(b3)y5 0互相平行， 则2a+3b的最小值为________． 5.常数a，b和正变量 a ＋ 2b 1 .若x＋2y 的最小值为 b x，y满足ab＝16， ＝ 64，则a＝________. x y 2 6. a,b 1 2 1 ，则 ab 的最大值为 ． 满足 已知正实数 2baa 2abb 第2页共9页 【题型三】代入消元法 【典例5】（苏州市2016届高三调研测试· 14）已知ab 1，a,b (0,1)，则 1 2 的 4 1 a 1 b 最小值为． 练习1．设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是． 第3页共9页 2．已知正实数x，y满足，则x+y的最小 值为．3．已知正实数x,y满足(x1)(y1)16，则xy的最小值为． 4.若a 0,b2，且ab 4 1 获取最小值的实数 a= 。 3，则使得 b2 a 5.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________ 6.已知x,y,zR，且xyz1，x2y2z23，求xyz的最大值为______ 第4页共9页 【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，会集Q11 ＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则a－b的最大值是．2．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为． 练习1．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则 x2y 的最大值为 ． 5x2 2xy2y2 x2y2 2．设x,y是正实数,且xy1,则的最小值是____. x2y1 3..若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则 2x－2y 2的最大值为 ． 2 5x －2xy＋2y 4 4．若实数满足 第5页共9页 ，当获取最大值时，的值为. 第6页共9页 【题型五】鉴识式法 【典例7】已知正实数 2 4 ． x，y满足x3y 10，则xy的取值范围为 x y 练习1.若正实数满足 第7页共9页 ，则的最大值为． 2.设x,yR，3x2y2xy1，则2xy的最大值为________ 变式1．在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式 uuur2 uuuruuur uuuruuuruuuruur CD≥(m2)OCOD m(OCOB)(ODOA)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数 m的最大值是 ． 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有鉴识式法、分别参数法