医学高等数学课件-函数、极限与连续.pptVIP

单侧连续 定理 则称f (x)在x0处右(左)连续. 设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义, 函数f (x)在x0处连续就一定在在x0处有极限吗？ 连续与极限的关系 √ 函数f (x)在x0处有极限就一定在在x0处连续吗？ × 例 例 f (x)在x=0连续. 问a为何值时, 连续函数与连续区间 若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续. 记作 f (x)?C(a, b). C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合. 其中 若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续. 记作 f (x)?C[a, b]. 例：y=tan(arctanx)与y=arctan(tanx)是周期函数吗？ 需要注意的问题： 周期函数的定义域一定且必须是是无穷区域。 二、基本初等函数 将以下六种最简单函数称为基本初等函数: 1. 常值函数 y = C (C 为常数). 2. 幂函数 y = x? (? ? R为常数). 3. 指数函数 y = ax (a 0, a ? 1). 4. 对数函数 y =logax (a 0, a ? 1). 5. 三角函数 y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = secx, y = cscx. 6. 反三角函数 y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arccotx 复合函数 例. 复合的条件是什么？ 例： 设 求 例. 解: 它是由以下几个函数复合而成: 复合函数的分解 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数, 称为初等函数. 例. 解: 特别的， 一般说来, 分段函数不是初等函数. 分段函数 第二节 极限—高等数学的研究工具 函数的极限定义 无穷小量与无穷大量 重要极限 一、函数的极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 x y o Def. 设 在 内有定义，当x趋于 时，若函数 无限接近于一个常数a，称a为当x趋于 时的极限， or 自变量趋向无穷大时函数极限的概念 同理 可定义 ， 时 的极限 Remark 1 f (x)在自变量趋向于无穷时收敛，当且仅当 时函数收敛，同时 时函数也收敛， f (x)才叫做收敛的。 例如， 在 时收敛吗？ Remark 2 发散有两种情况 称函数发散至无穷 在两个或多个数值之间振动 Def.3 设函数 在 的去心邻域内有定义，当 无限接近于 时，如果函数 能够无限接近一个常数 ，称 为当 趋于 时的极限，记为 or 自变量趋向于有限值时函数极限的概念 Remark 1 f (x)在 处可以没有定义。 Remark 2 f (x)在自变量趋向于有限值收敛，当且仅当 时函数收敛，同时 时函数也收敛， f (x)才叫做收敛的。 同理可定义 ， 时 的极限。 例 解：这是分段函数，f(x)在x=0,1处的左右极限 分别是: 那么，f(x)在x=0或x=1处极限存在吗？ 二、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量与无穷大量的定义 定义：极限为零的变量称为无穷小. 极限为无穷的变量称为无穷大. 无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆; Remark1 称函数为无穷小或者无穷大，必须指明自变量的变化过程； Remark2 零是可以作为无穷小的唯一的数. Remark3 无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大． Remark4 Remark5 在自变量的同一过程中，若f (x)是无穷大量，则1/ f (x)是 无穷小量；反之亦然。 Remark6 2、无穷小定理及其性质 定理 ), ( ) ( ) ( lim 0 x A x f A x f x x a + = ? = ? 其中 ) (