数学分析第十六章多元函数的极限与连续.ppt

第一页，共四十页，2022年，8月28日 第16章 多元函数的极限与连续 §1 平面点集与多元函数 （了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念 ） 一、 平面点集 坐标平面 …… 平面点集 E={(x,y)|(x,y)满足的条件} 邻域 U(A,δ)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2δ2} U(A,δ)={(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ} 空心邻域 U0(A,δ)={(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)2δ2} U(A,δ)={(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ,(x,y)≠(x0,y0)} 第二页，共四十页，2022年，8月28日 （一）下面利用邻域描述点和点集的关系 (ⅰ) 内点 ? U(A)?E (ⅱ) 外点 ? U(A)?E=? (ⅲ) 界点 ?U(A)?E≠? 且 ?U(A)?EC≠? 点A∈R2和点集E?R2必有以下三种关系之一： ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 第三页，共四十页，2022年，8月28日 (ⅰ) 聚点 ? U0(A)?E≠? 点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系： 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) (ⅱ) 孤立点 A∈E 且 ? U0(A)?E=? 第四页，共四十页，2022年，8月28日 练习1: 问A是E的内点?外点? (1)设 问 (2)设 是 E的聚点?孤立点? 呢? 第五页，共四十页，2022年，8月28日 （二）一些重要的平面点集 闭集 E的所有聚点∈E 开域 连通的开集 闭域 开域连同边界 开集 intE=E 有界点集、无界点集 点集的直径 三角不等式 区域 开域、闭域，或开域连同部分边界 第六页，共四十页，2022年，8月28日 练习2: 则原点是K的 点 (1)设 孤立点、界点，但不是聚 ； 圆周上的点是K的 点 界点、聚 ， 但不属于K； K 是开域、 是闭域， 有界集。 不 也不 是 (2)求下列平面点集的聚点集合 第七页，共四十页，2022年，8月28日 二、 R2上的完备性定理 R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。 为此，先给出平面点列的收敛性概念。 定义1 设 为平面点列， 为一固定点. 若 使当 时，有 则称点列 收敛于 记作 或 点列极限的两种等价形式： 第八页，共四十页，2022年，8月28日 定理16.1(柯西准则) 平面点列 收敛的充要条件是： 使当 时，对一切 有 定理16.2(闭域套定理) 设 是 中的闭域列，满足 则存在唯一的点 课堂练习：P92: 1(1)(3)(6) 作业： P92: 1(7),3,5 第九页，共四十页，2022年，8月28日 定理16.3(聚点定理) 设 为有界无限点集，则 在 中至少有一个聚点。 推论 有界无限点列 必存在收敛子列 定理16.4(有限覆盖定理) 设 为一有界闭域， 为一开域族，它覆盖了 (即 ),则在 中必存在有限个开域 它们同样覆盖了 (即 )。 推广： 将定理16.4中的 改为有界闭集，而 为一族开集，此时定理依然成立。 第十页，共四十页，2022年，8月28日 三、 二元函数 定义2 设平面点集 若按照某种对应法则 中每一点 都有唯一确定的实数 为定义在 上的二元函数，记作 为 与之对应，则称 的定义域,…函数值,…值域,…自变量,…因变量。 为方便计，二元函数也记作 或 第十一页，共四十页，2022年，8月28日 便是二元函数 三维欧氏空间 中的点集 的图像。 例2 例3 例4 例5 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。 否则称为无界函数。 练习3:描绘下列函数图象 第十二页，共四十页，2022年，8月28日 四、 n元函数 设点集 若按照某种对应法则 使每一点 都有唯一确定的实数 为定义在 上的 n元函数，记作 与之对应，则称 n元函数也记作 或 课堂练习：P92: 4,6(1)(3); P93: 8(1)(4)(7) 作业： P93: 8(5)(10) 第十三页，共四十页，2022年，8月28日 小结： 1、掌握平面点集的有关概念； 2、了解平面上的完备性定理； 3、了解