考前归纳总结平面向量易错题剖析.docx

平面向量易错题剖析 在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下： 2, b已知 a ? ? 3， a 与 b 的夹角为 45°，当向量 a ? ?b 与?a ? b 的夹角为锐角 2, b 时，求实数A 的范围． 错解：由已知a b ? a b cos 45 ? 3，∵ a ? ?b 与?a ? b 的夹角为锐角， ∴ (a ? ?b) (?a ? b) ? 0 ， 即? a 2 ? ? b 2 ? (?2 ?1)a b ? 0 , 2? ? 9? ? 3(?2 ?1) ? 0 解得? ? ?11? 85  或? ? ?11? 85 ?11 ?11? 85 ∴实数λ 的范围是( 6 , ??) ) (??,?11?685分析：解题时忽视了a ? ?b 与?a ? b 的夹角为0 的情况，也就是(a ? ?b) (?a ? b) ? 0 既包括了a ? ?b 与?a ? b 的夹角为锐角，也包括了a ? ?b 与?a ? b 的夹角为0 (??, ?11? 6 85 a ? ?b 与?a ? b 的夹角为0 不合题意． 正解：由已知a b ? a b cos 45 ? 3，又a ? ?b 与?a ? b 的夹角为锐角 ∴ (a ? ?b) (?a ? b) ? 0 ，且a ? ?b ? ?(?a ? b) ， 由(a ? ?b) (?a ? b) ? 0 ， 即? a 2 ? ? b 2 ? (?2 ?1)a b ? 0 , 3?2 ?11? ? 3 ? 0 解得? ? ?11? 85  或? ? ?11? 85 6 6 由a ? ?b ? ?(?a ? b) 得 ?? ? 1,? ? ? ，即? ? 1 ， 综上所述实数λ 的范围是( ?11? 85 6  ,1) ) 。 (1,??) (??,?11?685已知 O 为?ABC 所在平面内一点且满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 (1,??) (??, ?11? 6 85 面积之比为 ( ) A．1 B. 3 2  C. 2 3  D．2 错解： OA ? OB ? OC ? 0,?OB ? ?2OC ∴ O 在 BC 边上，且 OB ? 2 OC , 又△AOB 与△AOC 高相等，∴ ?AOB 与?AOC 的 面积之比为 2，∴选D． 分析： 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的重心的情况下，才有OA ? OB ? OC ? 0 ，而本题无此已知条件． 正解： 在AB 上取一点D，使 AD ? 2 DB ，? D 分 AB 的比? ? 2 ，得 OD ? 1 OA ? 2 OB ，又由已知OC ? 1 OA ? 2 OB,?OD ? ?OC ，∴O 为CD 的 3 3 3 3 中点，不妨设S ? S ，则 S ? S (∵两者等底同高)， ?AOC AOD AD ? 2 BD ， ? S ?BOD ? 1 S, S 2  ?AOB  ? 3 S ，△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为 3：2，选B． 2 BC ? BC CA ? CA AB ? AB BC cos60 ? BC CA cos60CA AB cos 60? 1 ? 1 ? 1 ? BC ? BC CA ? CA AB ? AB BC cos60 ? BC CA cos60 CA AB cos 60 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ． 2 2 2 2 分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量 AB 与 BC ， BC 与CA ， CA 与 AB 的夹角通过 平移后发 现都不是 60 °，而是 120 °．这是由 于对两向 量夹角的定义理解不透造成的． 正解： AB BC ? BC CA? CA AB ? AB BC cos120 ? BC CA cos120 ? CA AB cos120 ? ( ?1 2 ) ? ( ?1 2 ) ? ( ?1 2 ) ? ． ?32 ? 3 注意：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是a b ?且a 与b 不共线．这里， a 与b 不 共线不能忽略． 向量 a 、 b 都是非零向量，且向量 a + 3b 与 7a ? ?b 垂直， a ? 4b 与7a ? ?b 垂直，求 a 与b 的夹角． 错解：由题意，得(a + 3b) (7a ?? b) ? 0 ，① (a ? ?b) ( 7a ? ?b ) ?，0② 将①、②展开并相减，得46a b = ??b2，③ 1 ∵ b ? ? ，故a = b ，④ 将④代入②，得a2