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1 矩阵及其运算 重点: 矩阵及分块矩阵的运算及其性质，方阵的行列式、逆矩阵、伴随矩阵及 其相关性质 难点: 分块矩阵、逆矩阵、伴随矩阵及其相关性质定理 1.1 矩阵的概念 1.1.1 矩阵的概念 定义（矩阵）p2 1.1.2 几种特殊矩阵 (1) 对角矩阵 (2) 数量矩阵 (3) 单位矩阵 (4) 上（下）三角形矩阵 (5) 行阶梯形矩阵 (6) 简化行阶梯形矩阵 注: 这些都是矩阵的基础知识，请熟记 1.2 矩阵的运算 1.2.1 矩阵的加法 定义（矩阵的加法）p7 注: (1) 只有同型矩阵才可相加，其结果与原来矩阵同型 (2) 定义负矩阵，即类似矩阵的加法得到矩阵的减法 1.2.2 矩阵的数乘 定义（矩阵的数乘）p7 注: 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算 -1- 1.2.3 矩阵的乘法 定义（矩阵的乘法）p8 注: 矩阵乘法满足结合律与分配律，但一般没有交换律和消去律，具体请翻阅 书本p10 1.2.4 方阵的幂与多项式 定义（方阵的幂）p10 定义（方阵的多项式）p10 1.2.5 矩阵的转置 定义（矩阵的转置）p12 注: 转置在接下来的单元会用到，请熟记规律。可将矩阵的转置看成是对矩阵 的一种运算, 其满足以下规律 (1) A A (2) A B A B (3) A A (4) A B B A 定义（对称矩阵与反对称矩阵）p13 注: 由定义可得以下结论 (1) 对称矩阵和反对称矩阵都是方阵 (2) 对称矩阵的和，差仍是对称矩阵 (3) 对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 1.3 逆矩阵 定义（矩阵的逆）设A 为 阶方阵，若存在 阶方阵B，使得AB BA EB， 则称矩阵A 为可逆的. 矩阵B 称为A 的逆矩阵. 记为：A B 定理 1.1 （唯一性）若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的 注:p16 例1.13请熟记 定理 1.2 设 阶方阵A，B 可逆，数 ̸ ，则 (1) A 可逆，且A A (2) A 可逆，且A A (3) AB 可逆，且AB B A (4) A 可逆，且A A -2- 1.4 分块矩阵 1.4.1 分块矩阵的概念 定义（分块矩阵）p18 1.4.2 分块矩阵的运算p20-21 (1) 加法 (2) 数乘 (3) 转置（注: 分块矩阵不仅形式上行转置，而且每一个子块也进行转置） (4) 乘法 定义（分块对角阵）p22 性质： A A A A B B B B 则有 (1) AB A B A B A B A A 为正整数 (2) A A (3) A A A A (4) A A A A 为任意整数 1.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 1.5.1 初等变换 定义（初等行变换）p25 定理 1.3 任意 矩阵A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵