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专题 01 单调性的几个等价命题
【方法点拨】
1. 函数 f(x)为定义域在D 上的增函数 对任意 x ,x D ，当 x x 时,都有
1 2 1 2
f (x ) f (x )
1 2 0
；
x x
1 2
f (x ) f (x )
2. 对任意 x ,x D ，当 x x 时,都有 1 2 k
1 2 1 2 x x
1 2
f (x ) kx f (x ) kx
1 1 2 2 0 f(x) kx D
函数 － 为 上的增函数
x x
1 2
x x
说明：含有地位同等的两个变量 , 或 , 等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的
1 2
整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单
调性（需要预先设定两个变量的大小）.
【典型题示例】
1 2021 12 f(x) R (0,1)
例 （ ·江苏镇江八校· 联考）已知函数 的定义域为 ，图象恒过 点，
f (x ) f (x )
x ,x R x x 1 2 1
对 任 意 ， 当 时 , 都 有 ， 则 不 等 式
1 2 1 2 x x
1 2
f[ln(ex 1)] 1 ln(ex 1))的解集为( )
A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) D.(0, ln 2)
D
【答案】
f (x ) f (x )
【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将 1 2 1化为
x x
1 2
f (x ) x f (x ) x
1 1 2
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