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2012 年第四届全国大学生数学竞赛初赛
(数学类)试卷
一 (15 分)设 为椭圆抛物 z 3x 4y 1.2 2 从原点作 的切锥面。求切锥面的方程。
二 (15 分)设 为抛物线, 是与焦点位于抛物线同侧的一点。过 的直线 与 围成的
P P L
有界区域的面积记作AL( )。证明:AL( )取最小值当且仅当 恰为 被 所截出的线段的
P L
中点。
三 (10 分)设f C [0,),f(0)0,f (x)0,x [0,).1 已知
1 1
0 fx( )f (x) dx ,求证0 fx( )dx .
2
n
四 (10 分)设ABC, , 均为 阶正定矩阵,Pt()At BtC,ft()detPt(),其
detPt() Pt() ft()
中 为未定元, 表示 的行列式。若 是 的根,试证明: ,这
t Re 0
里Re 表示 的实部。
n
1x i n1
五 (10 分)已知 ax ,|x|1,n为正整数,求 a .
3 i i
1x i0 i0
六 (15 分)设 可微,
f : 0,1 R
1
f(0)f(10, fx( )dx 0且f (x)1,x 0,1。
0
n1
k 1
求证:对于任意正整数 ,有 f .
n
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