第4届全国大学生数学竞赛数学类初赛试卷和答案(2012年).pdfVIP

第4届全国大学生数学竞赛数学类初赛试卷和答案(2012年).pdf

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2012 年第四届全国大学生数学竞赛初赛 (数学类)试卷 一 (15 分)设 为椭圆抛物 z 3x 4y 1.2 2 从原点作 的切锥面。求切锥面的方程。   二 (15 分)设 为抛物线, 是与焦点位于抛物线同侧的一点。过 的直线 与 围成的  P P L  有界区域的面积记作AL( )。证明:AL( )取最小值当且仅当 恰为 被 所截出的线段的 P L  中点。 三 (10 分)设f C [0,),f(0)0,f (x)0,x [0,).1  已知  1  1 0 fx( )f (x) dx ,求证0 fx( )dx . 2 n 四 (10 分)设ABC, , 均为 阶正定矩阵,Pt()At BtC,ft()detPt(),其 detPt() Pt() ft() 中 为未定元, 表示 的行列式。若 是 的根,试证明: ,这 t  Re  0   里Re  表示 的实部。    n 1x  i n1 五 (10 分)已知  ax ,|x|1,n为正整数,求 a . 3  i  i 1x i0 i0 六 (15 分)设   可微, f : 0,1 R     1    f(0)f(10, fx( )dx 0且f (x)1,x  0,1。    0   n1   k 1   求证:对于任意正整数 ,有 f  . n   

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