第5届全国大学生数学竞赛非数学类初赛试卷和答案（2013年）.pdfVIP

2013 年第五届全国大学生数学竞赛初赛 （非数学类）试卷 一、解答下列各题(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) . n 1．求极限 2 lim 1 sin 1 4n . n   sinx 2 ．证明广义积分0 x dx不是绝对收敛的。 3 2 3 3 ．设yyx( )由x 3xy2y 2 所确定，求yx( )的极值。 4 ．过曲线 3 上的点 作切线，使得该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的 y x x0 A x   3 面积为 。求点 的坐标。 A 4 x  xsinxarctane 第二题：(12 分)计算定积分I  2 dx. 1cos x  fx( ) 第三题： (12 分)设fx( )在 x 0 处存在二阶导数 f ()0 ，且lim 0.证明：级数 x0 x    1  f  收敛。 n n1   b 2 第四题：(10 分)设 fx( ) ,f (x)m 0 a x b  ，证明：a sinfx( )dx  . m 第五题：(14 分)设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型的曲面积分  3 3 3 I x x dydz 2y y dzdx 3z z dxdy.      试确定曲面 ，使得积分 的值最小，并求该最小值。  I ydxxdy 第 六 题 ： (14 分 ) 设 I (r) , 其中 a 为常数，曲线 C 为椭圆 a a C x y2 2 2 2 2，取正向。求极限 lim I (r). x xyy r a r 1 1  1  第七题