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2014 年第五届全国大学生数学竞赛决赛
(数学类三、四年级)试卷
3 1 2 2
一、(本题 15 分)设 S为 R 中的抛物面z x y , 为 S外一固定点,
2 P abc, ,
满足 a b 2c2 2 . 过 作 的所有切线. 证明:这些切线的切点落在同一张平面上.
P S
二、(本题 15 分)设实二次型 T 其中
f x ,x ,x ,x x Ax,
1 2 3 4
x 2 a 2 2
1 0
x a 0 b c
2
x ,A ,
x d e 0 f
3
x g h k 4
4
a ,abcdefghk, , , , , , , , 皆为实数. 已知 2是 A的一个几何重数为 3 的特征值. 试回答
0 1
以下问题:
(1) A能否相似于对角矩阵;若能,请给出证明;若不能,请给出例子;
(2) 当 a 20 时,试求 f x ,x ,x ,x 在正交变换下的标准型.
1 2 3 4
三、(本题 20 分)设 是 上非负可导函数,
fx( ) [0,)
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