第6届全国大学生数学竞赛数学类一、二年级决赛试卷和答案（2015年）.pdfVIP

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2023-05-14 发布于天津
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第6届全国大学生数学竞赛数学类一、二年级决赛试卷和答案（2015年）.pdf

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2015 年第六届全国大学生数学竞赛决赛（数学类一、二年级）试卷一、填空题（本题 20 分，每小题 5 分） (1) 实二次型 2x x -x x +5x x 的规范型为 . 1 2 1 3 2 3 ¥ n (2) 级数 å n 的和为 . n =1 3 (3) 计算 I = òò (x2 +2y2 +3z2 )d S = . 2 2 2 x +y +z =1 (4) A = a 为 n 阶实对称矩阵 n 1 ，rank A =n -1, A 的每行元素之和均为 0. ( ) ( ) ( ) ij 设 2, 3, , n 为 A 的全部非零特征值. 用 A 表示 A 的元素 a 所对应的代数余子式，则有 11 11 A = . 11 二、（本题15 分）设空间中定点 P 到一定直线 l 的距离为 p . 一族球面中的每个球面都过点 P l a ，且截直线得到的弦长都是定值 . 求该球面族的球心的轨迹. ìïïæçç z1 z2 ö÷÷ üïï 三、（本题15 分）设 G=íç ÷| z ,z ÎC ý，其中 C 表示复数域. 试证明：A ÎG, 1 2 ïçç-z z ÷÷ ï ïîè 2 1 ø ïþ A 的 Jordan 标准型 JA 仍属于 G；进一步还存在可逆的矩阵P ÎG使得 P-1AP =JA . ì ï 1 ï x sin , x ¹0, ï 四、（本题20 分）设 f x = 求最大常数 a满足 ( ) íï x 0, x =0. ï ï î f x -f y ( ) ( ) sup +¥. a x ¹y x -y 五、（本题15 分） a