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养鱼方案的数学模型
2011 年 5 月 5 日
【问题背景】
“养鱼方案”是想通过建立数学模型来探讨实际养鱼的最优方法,化实际问题为理论的探究池 塘养鱼获取最大利润的养鱼方案。从中会忽略很多实际中存在的问题在实际采用中就需要变化的应 对。从实际问题出发寻找数学约束条件,通过数学建模、计算机运筹学模拟计算得到最佳模型求解。
【关键词】
池塘养鱼、非线性规划、最大利润、lingo 软件求解
一、问题重述
在一个水面面积为100 100m2 的池塘里养殖某种鱼,并有假设如下:
1、鱼的存活空间为1kg / m2 ;
2、每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ,市场上鱼饲料的价格为1.2元/ kg ;
3、鱼苗的价格忽略不计,每1kg 鱼苗大约有500 条鱼;
4、鱼可四季生长,每天的生长重量与鱼的自重成正比,365 天长为成鱼,成鱼的重量为2kg ;
5、池塘内与的繁殖与死亡均忽略;
6、若q 为鱼重,则此种鱼的售价为:
? 0元/ kg q ? 0.2
?? 6元/ kg 0.2 ? q ? 0.75
?
?q ? ? 8元/ kg 0.75 ? q ? 1.5
?
??10元/ kg
1.5 ? q ? 2
7、该池内只能投放鱼苗。
试建立适当的数学模型来得到一个能获得较大利润的三年养鱼方案。
二、模型假设与符号说明
(一)、模型假设:
1、假设每年都只有365 天;
2、只要有符合要求的鱼,都能顺利卖掉,且需要鱼苗时都能买到;
3、中途捕捞时对池塘里剩余的鱼不会造成损伤,且利用有不同大小网眼的 网能够捕捞到想要的鱼;
(二)、符号说明:
s (i, j ? 0,1,2,3) —各个阶段鱼体重增长过程中鱼吃饲料的增长和;( 0.05s
ij ij
为饲料的总和)
q (i ? 1,2,3) ——各个阶段的鱼的重量;
i
n (i ? 1,2,3) ——各重量段捕鱼的数量;
i
三、模型建立与求解
充分利用池塘空间:尽最大程度放养的养鱼方案,空间饱和就捕鱼。具体为:在开始一次性放入足够多的鱼苗数(确保空间足够都能长到0.2kg ),到鱼长到能卖 6 元时捕捞部分卖出,在这些
鱼长到能卖 8 元和能卖 10 元时,各个阶段也有适当的捕捞,并在长到2kg 时全部捕出出售。另外两年按此方案养鱼。
模型的构成:
鱼的成长与它自身的重量有关,每1kg 有 500 条鱼,且每条鱼365 天能长到2kg ,所以可以到
1
(1 ? ? )365 ? 2
500
1
,进而求得? ? 0.0191。
q ?
i 500
?1.0191Ti 是每一条鱼每天按 0.0191 的比率生长,在T 的时间所长到的重量。
i
s ? 1 ? 1.0191 ? 1.01912
ij
?? ? 1.0191T
? 1.0191T ?1 ?1
i0.0191
i
是每天鱼吃饲料的增长和,每天鱼的
i体重以 0.0191 的比率增长,饲料的增长是与体重有关。
i
首 先 , 得 到 第 一 次 放 入 鱼 苗 n ? 100 ?100 ? 50000 条 ; 鱼 苗 长 到
0.2
0.2kg 需 要
t ? log
1
1.0191
100 ? 243 天;鱼苗长到0.75kg 需要t
2
? log
1.0191
375 ? 313 ;鱼苗长到1.5kg 需要
到t ? log 750 ? 350 天;鱼苗长到 2kg 需要t ? log 1000 ? 365 天。
3 1.0191 4 1.0191
目标函数:
1 1 1
l ? 6q n ? ( ? 0.05 ?1.2)s
n ? 8q n
? ( ? 0.05 ?1.2)s
(n ? n
) ? 10q n
? ( ? 0.05 ?1.2)s n
1 1
其中:
500
10 2 2
500
21 1
3 3 500
31 3
1q ?
1
1 500
11
1
?1.0191T
? 0.2 ;
2q ? ?1.0191T ;
2
2 500
? ?1.0191
? ?1.0191
q
;
T
3
3 500
s ? 1 ? 1.0191 ? 1.01912
? ? ? 1.0191T
? 1.0191T ?1 ? 1 ;
1110 0.0191
1
1
s ? 1 ? 1.0191 ? 1.01912
21
? ? ? 1.0191T
? 1.0191T ?1 ? 1 ;
220.0191
2
2
1.0191T
?1 ?1
3s ? 1 ? 1.0191 ? 1.01912
3
31
?? ? 1.0191T
? 3 ;
0.0191
约束条件:
n ? 50000 ;
n ? n ? n ? n ;
1
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