线性代数应用实例.docx

标准合用 线性代数应用实例 求插值多项式 右表给出函数 f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式p(t) a0 a1t a2t2 a3t3， 并求f(1.5)的近似值。 解：令三次多项式函数 p(t) a0a1t a2t2 a3t3过 ti 0 1 2 3 表中已知的4点，能够获得四元线性方程组： a0 3 f(ti) 3 0 -1 6 a0 a1 a2 a3 0 a0 2a1 4a2 8a3 1 a0 3a1 9a2 27a3 6 对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入： A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b]) 获得x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1 获得a03,a12,a22,a31，三次多项函数为p(t)32t2t2t3，故f(1.5)近 似等于p(1.5)32(1.5)2(1.5)2(1.5)31.125。 在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点ti(i1,2,L,n1)上的值f(ti)时，即可 以用n次多项式p(t)a0a1ta2t2Lantn对f(t)进行插值。 在数字信号办理中的应用-----数字滤波器系统函数 数字滤波器的网络结构图实质上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限 u 2x1 y 文案大全 1/4 z1 1/4 x3 x2 z 1 3/8 图1某数字滤波器结构图 标准合用 定为双输入相加器；别的，数字滤波器器件有一个延迟一个节拍的运算，它也是一个线性算 子，它的注明符号为z1。依照这样的结构图，也能够用近似于例7.4的方法，求它的输入 输出之间的传达函数，在数字信号办理中称为系统函数。 图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u 之比。先在它的三其中间节点上注明信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。由 于延迟算子z1不是数，要用符号代替，因此取 q z 1，依照图示情况，能够写出 ： x1 qx2 2u x2 3 q 1 1 8 x3 u 4 4 x3 x1 写成矩阵形式为 x1 0 q 0 x1 2 3 1 1 x x2 0 0 x2 x=Qx-Pu q 4 u x3 8 x3 4 1 0 0 0 经过移项后，系统函数 W能够写成： W=x/u=inv(I-Q)*P 现在能够列写计算系统函数的 MATLAB程序ea705 ， symsq %规定符号变量 Q(1,2)q;Q(2,3)=3/8*q 1/4;Q(3,1)=1; %给非零元素赋值 Q(3,3)=0; %给右下角元素 Q（3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零 P=[2;1/4;0] % 给P赋值 W=inv(eye(3) Q)*P % 用信号流图求传达函数的公式 程序运行的结果为 W=[ 16/( 83*q^2 2*q) 2*q/( 83*q^2 2*q) ] [ 2*(3*q 2)/(8 3*q^2 2*q) 2/(8 3*q^2 2*q)] [ 16/( 8 3*q^2 2*q) 2*q/( 8 3*q^2 2*q)] 我们关心的是以yx3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3)) 文案大全 标准合用 整理后获得 y 16 2q q 8 z W(3) 83q2 2q 1.5q2 q4 1.5z u  1 8 2z14 用性代数方法的好是合用于任何复系，并能用算机解决。 信号与系统课程中的应用----- 线性时不变系统的零输入响应 描述n性不（LTI）系的微分方程 n n1 andy m bmdu a1dy a2dy an1yb1du bm1u,n≥m dtn dt dt dtm dt 已知y及其各数的初始 y(0)，y(1) (0)，?，y(n-1)(0) ，求系的零入响。 解：当LTI系的入零，其零入响微分方程的次解（即令微分方程等 号右端0），其形式（特点根均根） y(t) C1ep1t C2ep2t Cnepnt 其中p1，p2，?，pn是特点方程a1 n+a2 n-1+?+an+ an+1=0的根，它可用 roots(a) 句求得。各系数 C1，?，Cn由y及其各数的初始来确定。此有 C+ C+?+Cn=y 0 y 0 =y(0) 1 2 p1C1+ p2C2+?+pnCn=Dy0 (Dy0表示y的数的初始 y(1)(0)) ????????????? p1n1C1 p2n1C2 pnn1Cn Dn1y0 1 1 1 C1 y0 p1 p2 pn C2 Dy0 写成矩形式 p1n1 p2n1 pnn1 Cn Dn1y0 即 V·C=Y0，其解 C=V\ Y0 式中C[C1,C2,L,Cn]T