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傅里叶与z变换--第1页 第五章 z变换 5-1 概述 在电路理论中我们学过拉普拉斯变换，在那里把它作为连续时间傅里叶变换的一种推广，做这中 推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更广泛的适用范围，有许多信号，其傅里叶变 换不存在，但却有拉普拉斯变换，比如一个不稳定的线性时不变系统的傅里叶变换不存在，但它的拉 普拉斯变换却存在，运用拉普拉斯变换可以对系统的不稳定性作分析，从而找出使系统稳定的措施或 找出系统不稳定的原因。 对于离散系统表述系统和信号的数学抽象是序列，其变量为离散变量，因此拉普拉斯变换已不适 用。作为序列的傅里叶变换的推广就是z变换。作为一种重要的数学工具，它把描述离散系统的差分 方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。还可以利用系统函数的零、极点分布，定性分析系 统的时域特性、频率响应、稳定性等，是离散系统分析的重要方法。Z变换在离散系统的作用与地位， 与拉氏变化在连续时间系统相当。本章中要讨论z变换的定义、性质和它与傅里叶变换、拉普拉斯变 换的关系。 5-2 z 变换的定义及其收敛域 序列的傅里叶变换定义为：        j jn j n （5-1） F(e ) f (n)e  f (n)(e ) n n j   j 式中 是 的复函数，变量是实数 ，也可以看成是复数变量 的函数，这时 就是复变函 e j e 数，只不过“复数”变量只在虚轴 上取值，现在若将这个“复数”延拓到实轴上取值，即  ， j j    这时（5-1）式中的 就变成ej e j ，这样（5-1）式就应该写成       F(e j ) f (n)(e j n) （5-2） n     显然，上式表述在形式有点累赘，注意到e j 本身也是一个复数变量，令ze j ，则（5-2）式就 为   n （5-3） F(z) f (n)z n 118 傅里叶与z变换--第1页 傅里叶与z变换--第2页 上式就是序列的z变换，通过前面的说明可以看到序列的z变换实际上就是序列傅里叶变换的推 广，序列的z变换是复数变量z的函数，即F(z)是个复变函数。（5-3）式中对n 的求和是从 到 ，