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傅立叶变换的物理意义--第1页 傅立叶变换的物理意义 傅立叶变换 (F.T.)对每个电子工程师来说应该都不陌生,但我们不应该只是记 住一个的公式,其背后的物理意义才是掌握和自如运用各种变换的核心。寒假前老 师把我们叫过去给了个入门讲座。他特地强调了下 F.T.背后物理意义,相比于以前 见到的一些版本,似乎更“自然”些。 在信号处理 ,我们常常得到的是一些“乱七八糟”的“噪声”。人们当然不 能直接对这些混乱的东东进行分析,所以便想出“类比法”,将这些信号与我们生活 中一些常见的“简单信号”来进行比较。接着,我们的问题就来了…… 第一,比较当然需要一定的衡量标准,我们用什么来作为两个信号“类比”的 衡量呢?我们想知道的是“复杂信号”和“简单信号”之间存在多大的“相似”,所 以首先想到的就应该是两个信号的“相关性”。计算相关性很简单,其实就是将两 个信号相乘再积分 (连续信号),或者相乘再叠加求和(离散)。为什么呢?(假设两个 信号均值为 0)如果两个信号很相似,那么,根据“负负得正”等,在各个时间 t 上的 乘积应当更多的为“正值”,积分后显然也为“正”。越相似的信号,积分后的值就 越“正”——即相关性越大。 (关于相关性和内积的关系,见) 第二,究竟选取什么信号来作为我们衡量的“标准”呢?呵呵,大家都知道是正 弦信号了。“为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?我们也还可以用方波 或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地 处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不 具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只 有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才 拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。”(以上引自) 第三,激动人心的时刻!对于不同的 ω,我们会得到不同频率的正弦信号,所以 对每个频率的正弦信号都要计算一下它与“复杂信号”的“相关性”,即在 ω轴的 傅立叶变换的物理意义--第1页 傅立叶变换的物理意义--第2页 (-∞,+∞)都计算出“复杂信号”与“简单信号”的“相关性”。由此,我们便得到 了时域到 ω域的变换——傅立叶变换。 其实呢,只要我们选取的“标准信号”满足: 1. 正交性 2. 唯一性 3. 忘了⊙﹏⊙b汗(貌似是泛函里面的,没学过) 我们就可以用它们来做“变换”,如小波中的方波等等。根据分析目标的不同, 选择不同的“简单信号”来与“复杂信号”做“相关性”比较。 1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法 的意 ,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信 号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶 变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号 的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一 种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 傅立叶变换的物理意义--第2页 傅立叶变换的物理意义--第3页 因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频 域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还 可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种