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傅里叶系数的推导--第1页 傅里叶系数的推导 傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都 有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬.一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动 不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩. 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷， 不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数 f （t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看 那个①式，就是把周期函数 f （t)描述成一个常数系数 a０、及1 倍 ω的 sin 和 cos 函数、2 倍 ω的ｓin和 co ｓ函数等、到 n 倍 ω的 sin 和 co ｓ函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系 数，即 An 和 Bn,至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式,不过为了积分方便，积分区间 一般设为[－π, π］,也相当一个周期 T 的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生 呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程 : １、把一个周期函数表示成三角级数: 首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、 无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x）= Ａ s ｉn （ωt+ψ） 这里 t 表示时间,A 表示振幅,ω 为角频率，ψ 为初相(与考察时设置原点位置有关). 1 / 5 傅里叶系数的推导--第1页 傅里叶系数的推导--第2页 傅里叶系数的推导 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用 一系列的三角函数Ａn s ｉｎ（nωｔ＋ψ）之和来表示那个较复杂的周期函数f （t）呢？因为 正弦函数 s ｉn 可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式 : （关于傅里叶推导纯属猜 想) 这里,t 是变量，其他都是常数.与上面最简单的正弦周期函数相比，５式中多了一个 n，且n 从 1 到无穷大.这里 f （t)是已知函数,也就是需要分解的原周期函数.从公式 5 来看，傅里叶是 想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量 （即式中Ａn）、有不同的周期或说是频率 （是原周期函数的整数倍,即ｎ）、有不同的初相角 (即 ψ),当然还有一项常数项（即Ａ０）。要命的是,这个ｎ是从 1 到无穷大,也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单 的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数， 其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立, 关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如Ａ0、Ａn 等， 如果能把这些系数求出来， 那么 5 式就可以成立.当然在5 式 ,唯一已知的就是原周期函数ｆ（t）,那么只需用已知函数 f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立,也能计算了。 于是乎,傅里叶首先对式５作如下变形 : 这样，公式５就可以写成如下公式 6 的形式: 这个公式６就是通常形式的三角级数,接下来的任务就是要把各项系数ａn 和 bn 及 a0 用已知 函数 f （t）来表达出来. ２、三角函数的正交性：